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276. 栅栏涂色

English Version

题目描述

有 k 种颜色的涂料和一个包含 n 个栅栏柱的栅栏，请你按下述规则为栅栏设计涂色方案：

• 每个栅栏柱可以用其中 一种 颜色进行上色。
• 相邻的栅栏柱 最多连续两个 颜色相同。

给你两个整数 k 和 n ，返回所有有效的涂色 方案数 。

 

示例 1：

输入：n = 3, k = 2
输出：6
解释：所有的可能涂色方案如上图所示。注意，全涂红或者全涂绿的方案属于无效方案，因为相邻的栅栏柱 最多连续两个 颜色相同。

示例 2：

输入：n = 1, k = 1
输出：1

示例 3：

输入：n = 7, k = 2
输出：42

 

提示：

• 1 <= n <= 50
• 1 <= k <= 105
• 题目数据保证：对于输入的 n 和 k ，其答案在范围 [0, 231 - 1] 内

解法

方法一：动态规划

定义 $dp[i][0]$ 表示栅栏 $[0,..i]$ 且最后两个栅栏颜色不同的方案数，$dp[i][1]$ 表示栅栏 $[0,..i]$ 且最后两个栅栏颜色相同的方案数。

初始时 $dp[0][0]=k$。当 $i \ge 1$ 时，有：

$$ \begin{cases} dp[i][0]=(dp[i-1][0]+dp[i-1]) \times (k-1)\\ dp[i][1]=dp[i-1][0] \end{cases} $$

答案为 $dp[n-1][0] + dp[n-1][1]$。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(1)$。其中 $n$ 是栅栏柱的数量。

Python3

class Solution:
    def numWays(self, n: int, k: int) -> int:
        dp = [[0] * 2 for _ in range(n)]
        dp[0][0] = k
        for i in range(1, n):
            dp[i][0] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1]) * (k - 1)
            dp[i][1] = dp[i - 1][0]
        return sum(dp[-1])

Java

class Solution {
    public int numWays(int n, int k) {
        int[][] dp = new int[n][2];
        dp[0][0] = k;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1]) * (k - 1);
            dp[i][1] = dp[i - 1][0];
        }
        return dp[n - 1][0] + dp[n - 1][1];
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int numWays(int n, int k) {
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2));
        dp[0][0] = k;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1]) * (k - 1);
            dp[i][1] = dp[i - 1][0];
        }
        return dp[n - 1][0] + dp[n - 1][1];
    }
};

Go

func numWays(n int, k int) int {
	dp := make([][]int, n)
	for i := range dp {
		dp[i] = make([]int, 2)
	}
	dp[0][0] = k
	for i := 1; i < n; i++ {
		dp[i][0] = (dp[i-1][0] + dp[i-1][1]) * (k - 1)
		dp[i][1] = dp[i-1][0]
	}
	return dp[n-1][0] + dp[n-1][1]
}

...