geo.tex

\documentclass{cheat-sheet}

\pdfinfo{
  /Title (Zusammenfassung Differentialgeometrie)
  /Author (Tim Baumann)
}

\newcommand{\Intabdt}[1]{\Int{a}{b}{#1}{t}}
\DeclareMathOperator{\Bil}{Bil} % Menge der Bilinearformen
\DeclareMathOperator{\SymBil}{SymBil} % Menge der symmetrischen Bilinearformen
\newcommand{\FFI}{\mathrm{I}} % Erste Fundamentalform
\newcommand{\FFII}{\mathrm{I\!I}} % Zweite Fundamentalform
\DeclareMathOperator{\Graph}{Graph}
\DeclareMathOperator{\Span}{span} % Spann
\DeclareMathOperator{\Bild}{Bild} % Bild
\DeclareMathOperator{\Exp}{Exp} % geodätische Exponentialabbildung
\newcommand{\A}{\mathcal{A}} % Fläche (area)
\newcommand{\Cont}{\mathcal{C}} % Menge der stetigen/diff'baren Funktionen

% Kleinere Klammern
\delimiterfactor=701


\begin{document}

\maketitle{Zusammenfassung Geometrie}

% Kapitel 1
\section{Geometrie von Kurven}

% Kapitel 1.1. Erinnerung an die euklidische Geometrie

% Erinnerung: Skalarprodukt, Isometrie, Winkel, Orthogonalität


% Kapitel 1.2. Bogenlänge

\begin{nota}
  Sei im Folgenden $I$ ein Intervall, \dh{} eine zusammenhängende Teilmenge von $\R$.
\end{nota}

\begin{defn}
  Eine Abbildung $c : I \to \R^n$ heißt \emph{reguläre Kurve}, wenn $c$ beliebig oft differenzierbar ist und $c'(t) \not= 0$ für alle $t \in I$ gilt.

  Der affine Unterraum $\tau_{c,t} \coloneqq c(t) + \R(c'(t))$ heißt \emph{Tangente} an $c$ im Punkt $c(t)$ bzw. Tangente an $c$ zum Zeitpunkt $t$.
\end{defn}

% Lemma 1.2: Tangenten ändern sich unter Parameterwechseln nicht

\begin{defn}
  Für eine reguläre Kurve $c : \cinterval{a}{b} \to \R^n$ heißt
  \[ L(c) \coloneqq \Intabdt{\norm{c'(t)}} \quad \text{\emph{Bogenlänge} (BL).} \]
\end{defn}

\begin{satz}
  Die Bogenlänge ist invariant unter Umparametrisierung, \dh{} sei $c : \cinterval{a_2}{b_2} \to \R^n$ eine reguläre Kurve und $\phi : \cinterval{a_1}{b_1} \to \cinterval{a_2}{b_2}$ ein Diffeomorphismus, dann gilt $L(c) = L(c \circ \phi)$.
\end{satz}

\begin{defn}
  Eine reguläre Kurve $c : I \to \R^n$ heißt \emph{nach Bogenlänge parametrisiert}, wenn $\norm{c'(t)} = 1$ für alle $t \in I$.
\end{defn}

\begin{satz}
  Jede reguläre Kurve $c : I \to \R$ lässt sich nach BL parametrisieren, \dh{} es existiert ein Intervall $J$ und ein Diffeomorphismus $\phi : J \to I$, welcher sogar orientierungserhaltend ist, sodass $\tilde{c} \coloneqq c \circ \phi$ nach BL parametrisiert ist.
\end{satz}

\begin{defn}
  Zwei Vektoren $a, b \in \R^n$ heißen \emph{gleichgerichtet}, falls $\lambda \geq 0$ mit $a = \lambda b$ existiert.
\end{defn}

\begin{satz}
  Sei $v : \cinterval{a}{b} \to \R^n$ stetig, dann gilt $\norm{\Intabdt{v(t)}} \leq \Intabdt{\norm{v(t)}}$,\\
  wobei Gleichheit genau dann gilt, falls alle $v(t)$ gleichgerichtet sind.
\end{satz}

\begin{satz}
  Sei $c : \cinterval{a}{b} \to \R^n$ eine reguläre Kurve und $x \coloneqq c(a), y \coloneqq c(b)$. Dann gilt $L(c) \geq d(x, y)$. Wenn $L(c) = d(x, y)$, dann gibt es einen Diffeomorphismus $\phi : \cinterval{a}{b} \to \cinterval{0}{1}$, sodass $c = c_{xy} \circ \phi$, wobei
  \[ c_{xy} : \cinterval{0}{1} \to \R^n, \quad t \mapsto x + t (y - x). \]
\end{satz}

% TODO: Definition Feinheit

\begin{defn}
  Sei $c : \cinterval{a}{b} \to \R^n$ eine stetige Kurve und $a = t_0 < t_1 < \ldots < t_k = b$ eine Zerteilung von $\cinterval{a}{b}$. Dann ist die Länge des \emph{Polygonzugs} durch die Punkte $c(t_i)$ gegeben durch
  \[ \hat{L}_c(t_0, \ldots, t_k) = \sum_{j=1}^k \norm{c(t_j) - c(t_{j-1})}. \]
\end{defn}

\begin{defn}
  Eine stetige Kurve $c$ heißt \emph{rektifizierbar} von Länge $\hat{L}_c$, wenn gilt: Für alle $\epsilon > 0$ gibt es ein $\delta > 0$, sodass für alle Unterteilungen $a = t_0 < t1 < \ldots < t_k = b$ der Feinheit mindestens $\delta$ gilt:
  \[ \norm{\hat{L}_c - \hat{L}_c(t_0, t_1, \ldots, t_k)} < \epsilon. \]
\end{defn}

% Kapitel 1.3. Ebene Kurven

\begin{defn}
  Sei $c : I \to \R^n$ regulär und nach BL parametrisiert. Dann heißt der Vektor $c''(t)$ \emph{Krümmungsvektor} von $c$ in $t \in I$ und die Abbildung $\kappa : I \to \R, \enspace t \mapsto \norm{c''(t)}$ heißt \emph{Krümmung} von $c$. %der nach BL parametrisierten Kurve.
\end{defn}

\begin{defn}
  Eine Kurve $c : I \to \R^2$ wird \emph{ebene Kurve} genannt.
\end{defn}

\begin{defn}
  Sei $c$ eine reguläre, nach BL parametrisierte, ebene Kurve. Dann ist das \emph{Normalenfeld} von $c$ die Abbildung
  \[ n = n_c : I \to \R^2, \quad t \mapsto J \cdot c'(t) \quad \text{mit } J \coloneqq (\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}).  \]
  
\end{defn}

\begin{bem}
  Für alle $t \in I$ bildet $(c'(t), n_c(t))$ eine positiv orientierte Orthonormalbasis des $\R^2$.
  Es gilt außerdem $c''(t) \perp c'(t)$, also $c''(t) = \kappa(t) \cdot n_c(t)$, \dh{} die Krümmung hat im $\R^2$ ein Vorzeichen.
\end{bem}

\begin{satz}[\emph{Frenet-Gleichungen} ebener Kurven]
  Sei $c : I \to \R^2$ regulär, nach BL parametrisiert und $v = c'$, dann gilt
  \[ c'' = \kappa \cdot n \quad \text{ und } \quad n' = -\kappa \cdot v. \]
\end{satz}

% Matrixschreibweise?
% Beispiel: Kreis

\begin{bsp}
  Für die nach BL parametrisierte gegen den UZS durch- laufene Kreislinie mit Mittelpunkt $m \in \R^2$ und Radius $r > 0$
  \[
    c : \R \to \R^2, \enspace t \mapsto m + r \begin{pmatrix} \cos(t/r) \\ \sin(t/r) \end{pmatrix}
    \quad \text{gilt} \quad
    \fa{t \in \R} \kappa(t) = \tfrac{1}{r}.
  \]
\end{bsp}

\begin{satz}
  Sei $c : I \to \R^2$ glatt, nach BL param. mit konst. Krümmung $\kappa(t) = R \not= 0$. Dann ist $c$ Teil eines Kreisbogens mit Radius $\tfrac{1}{|R|}$.
\end{satz}

\begin{defn}
  Für $c : I \to \R^2$ regulär, nicht notwendigerweiße nach BL parametrisiert, ist die Krümmung zur Zeit $t$ definiert als
  \[ \kappa(t) \coloneqq \tfrac{\det(c'(t), c''(t))}{\norm{c'(t)}^3}. \]
\end{defn}

\begin{bem}
  Obige Definition ist invariant unter orientierungserhaltenden Umparametrisierungen, und stimmt für nach BL parametrisierte Kurven mit der vorhergehenden Definition überein.
\end{bem}

\begin{satz}[\emph{Hauptsatz der lokalen ebenen Kurventheorie}]\mbox{}\\
  Sei $\kappa : I \to \R$ eine stetige Funktion und $t_0 \in I$ und $x_0, v_0 \in \R^2$ mit $\norm{v_0} = 1$. Dann gibt es ganu eine nach BL parametrisierte $\Cont^2$-Kurve $c : I \to \R^2$ mit Krümmung $\kappa$, $c(t_0) = x_0$ und $c'(t_0) = v(t_0) = v_0$.
\end{satz}

\begin{defn}
  Eine reguläre Kurve $c : \cinterval{a}{b} \to \R^n$ heißt \emph{geschlossen}, falls $c(a) = c(b)$ und $c'(a) = c'(b)$.
  Eine reguläre geschlossene Kurve $c$ heißt \emph{einfach geschlossen}, wenn $c|_{[a, b[}$ injektiv ist.
\end{defn}

\begin{defn}
  Für eine geschl. reguläre ebene Kurve $c : \cinterval{a}{b} \to \R^2$ heißt
  \[
    \overline{\kappa}(c) \coloneqq \Intabdt{\kappa(t) \cdot \norm{c'(t)}}
    \quad \text{\emph{Totalkrümmung} von $c$.}
  \]
\end{defn}

\begin{bem}
  Ist $c$ nach BL parametrisiert, so ist $\overline{\kappa}(c) = \Intabdt{\kappa(t)}$.
\end{bem}

\begin{satz}
  Die Totalkrümmung ist invar. unter orientierungserhaltenden Umparam., \dh{} ist $c : [a_2, b_2] \to \R^2$ regulär und $\phi : [a_1, b_1] \to [a_2, b_2]$ ein Diffeomorphismus mit $\phi' > 0$, dann gilt $\overline\kappa(c) = \overline\kappa(c \circ \phi)$.
\end{satz}

\begin{satz}[\emph{Polarwinkelfunktion}]
  Sei $\gamma : \cinterval{a}{b} \to S^1$ stetig (glatt) und $\omega_a \in \R$, sodass $\gamma(a) = e^{i \omega_a}$. Dann gibt es eine eindeutige stetige (glatte) Abb. $\omega : \cinterval{a}{b} \to \R$, genannt Polarwinkelfunktion von $\gamma$ mit $\omega(a) = \omega_a$ und $\gamma(t) = e^{i \omega(t)} = \begin{psmallmatrix} \cos(\omega(t)) \\ \sin(\omega(t)) \end{psmallmatrix}$ für alle $t \in \cinterval{a}{b}$.
\end{satz}

\begin{satz}
  Seien $\omega$ und $\tilde\omega$ zwei stetige Polarwinkelfunktionen zu einer stetigen Abbildung $\gamma : \cinterval{a}{b} \to S^1$. Dann gibt es ein $k \in \Z$, sodass $\omega(t) - \tilde\omega(t) = 2 \pi k$ für alle $t \in \cinterval{a}{b}$.
\end{satz}

% Ausgelassene Bezeichnung: Tangentendrehzahl
\begin{satz}
  Für eine ebene reguläre geschl. Kurve $c : \cinterval{a}{b} \to \R^2$ heißt
  %Sei $c : \cinterval{a}{b} \to \R^2$ eine ebene reguläre geschlossene Kurve, dann heißt die ganze Zahl
  \[
    U_c \coloneqq \frac{1}{2 \pi} \overline\kappa(c) = \frac{1}{2 \pi} \Intabdt{\kappa(t) \norm{c'(t)}} \in \Z
    \quad \text{\emph{Umlaufzahl} von $c$}.
  \]
\end{satz}

\begin{satz}[\emph{Umlaufsatz von Hopf}]
  Die Umlaufzahl einer einfach geschlossenen regulären Kurve ist $\pm 1$.
\end{satz}

\begin{defn}
  Für eine reg. geschlossene ebene Kurve $c : \cinterval{a}{b} \to \R^2$ heißt
  \[
    \kappa_{\mathrm{abs}}(c) \coloneqq \Int{a}{b}{\abs{\kappa_c(t)} \cdot \norm{c'(t)}}{t}
    \quad \text{\emph{Absolutkrümmung}.}
  \]
\end{defn}

\begin{satz}
  Für die Absolutkrümmung einer einfach geschlossenen regulären Kurve $c : \cinterval{a}{b} \to \R^2$ gilt $\kappa_{\text{abs}} \geq 2 \pi$, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn $\kappa_c$ das Vorzeichen nicht wechselt.
\end{satz}

% Vorlesung vom 28.10.2013

\begin{satz}[\emph{Whitney-Graustein}]
  Für zwei glatte reguläre geschlossene ebene Kurven $c, d : \cinterval{0}{1} \to \R^2$ sind folgende Aussagen äquivalent:
  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}[label=(\roman*),leftmargin=2em]
      \item $c$ ist zu $d$ regulär homotop
      \item $U_c = U_d$
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
\end{satz}

% Vorlesung vom 30.10.2013

% Kapitel 1.4. Frenet-Kurven

\begin{defn}
  Eine glatte reguläre Kurve $c : I \to \R^n$ ($n \geq 3$) heißt \emph{Frenet-Kurve}, wenn für alle $t \in I$ die Ableitungen $c'(t), c''(t), \ldots, c^{(n-1)}(t)$ linear unabhängig sind.
\end{defn}

\begin{defn}
  Sei $c : I \to \R^n$ eine Frenet-Kurve und $t \in I$. Wende das Gram- Schmidt-Verfahren auf $\{ c'(t), c''(t), \ldots, c^{(n-1)}(t) \}$ an und ergänze das resultierende ONS $(b_1(t), \ldots, b_{n-1}(t))$ mit einem passenden Vektor $b_n(t)$ zu einer Orthonormalbasis, die positiv orientiert ist. Die so definierten Funktionen $b_1, \ldots, b_n : I \to \R^n$ sind stetig und werden zusammen das \emph{Frenet-$n$-Bein} von $c$ genannt.
\end{defn}

\begin{defn}
  Sei $(b_1, \ldots, b_n)$ das Frenet-$n$-Bein einer Frenet-Kurve $c$. Dann:
  \[ A \coloneqq (\langle b_j' , b_k \rangle)_{jk} = \begin{pmatrix}
    0 & \kappa_1 &&& 0 \\
    - \kappa_1 & 0 & \kappa_2 \\
    & \ddots & \ddots & \ddots \\
    && - \kappa_{n-2} & 0 & \kappa_{n-1} \\
    0 &&& - \kappa_{n-1} & 0
  \end{pmatrix} \]
  Die Funktion $\kappa_j : I \to \R, \enspace t \mapsto \langle b_j'(t) , b_{j+1}(t) \rangle$, $j = 1, \ldots, n - 1$ heißt $j$-te \emph{Frenet-Krümmung} von $c$.
\end{defn}

% Aufgabe 1.23

\begin{satz}[\emph{Hauptsatz der lokalen Raumkurventheorie}]\mbox{}\\
  Seien $\kappa_1, \ldots, \kappa_{n-1} : I \to \R$ glatt mit $\kappa_1, \ldots, \kappa_{n-2} > 0$ und $t_0 \in I$ und $\{ v_1, \ldots, v_n \}$ eine pos. orientierte ONB, sowie $x_0 \in \R^n$. Dann gibt es genau eine nach BL param. Frenet-Kurve $c : I \to \R^n$ mit
  \begin{itemize}
    \miniitem{0.24 \linewidth}{$c(t_0) = x_0$,}
    \miniitem{0.73 \linewidth}{das Frenet-$n$-Bein von $c$ in $t_0$ ist $\{ v_1, \ldots, v_n \}$ und}
    \item die $j$-te Frenet-Krümmung von $c$ ist $\kappa_j$.
  \end{itemize}
\end{satz}

\begin{defn}[Frenet-Kurven im $\R^3$]
  Sei $c : I \to \R^3$ eine nach Bogenlänge parametrisierte Frenet-Kurve und $t \in I$. Dann heißt
  \begin{itemize}
    \item $b_1(t) = v(t) = c'(t)$ der \emph{Tangentenvektor} an $c$ in $t$,
    \item $b_2(t) = \tfrac{c''(t)}{\norm{c''(t)}}$ \emph{Normalenvektor} an $c$ in $t$,
    \item $\Span(b_1(t), b_2(t))$ \emph{Schmiegebene} an $c$ in $t$,
    \item $b_3(t) = b_1(t) \times b_2(t)$ \emph{Binormalenvektor} an $c$ in $t$,
    \item $\tau_c(t) = \tau(t) \coloneqq \kappa_2(t) = \langle b_2'(t) , b_3(t) \rangle$ \emph{Torsion} o. \emph{Windung} von~$c$.
  \end{itemize}
\end{defn}

\begin{bem}
  Die Frenet-Gleichungen für nach BL parametrisierte Frenet-Kurven im $\R^3$ lauten
  \[
      b_1' = \kappa_c b_2, \quad
      b_2' = - \kappa_c b_1 + \tau_c b_3, \quad
      b_3' = - \tau_c b_2
  \]
\end{bem}

% Nach Theorem 1.24 bestimmt die Kru ̈mmung und die Torsion eine nach Bogenla ̈nge
% parametrisierte Frenet-Kurve im R3 bis auf eine euklidische Bewegung eindeutig

\begin{bem}
  Für eine nicht nach BL parametrisierte Frenet-Kurve $c : I \to \R^3$ gilt für Krümmung und Torsion
  \[
    \kappa_c \coloneqq \tfrac{\norm{c' \times c''}}{\norm{c'}^3}
    \quad \text{und} \quad
    \tau_c \coloneqq \tfrac{\det(c', c'', c''')}{\norm{c' \times c''}^2}.
  \]
\end{bem}

% Vorlesung vom 4.11.2013

\begin{defn}
  Für eine glatte geschl. reguläre Kurve $c : \cinterval{a}{b} \to \R^n$ heißt
  \[
    \overline\kappa(c) \coloneqq \Intabdt{\kappa_c(t) \cdot \norm{c'(t)}}
    \quad \text{\emph{Totalkrümmung} von $c$.}
  \]

  Hierbei ist die Krümmung einer regulären Raumkurve $c : I \to \R^n$ wie folgt definiert:
  Sei $\phi : I \to J$ orientierungserhaltend
  (\dh{} $\phi' > 0$) und so gewählt,
  dass $\tilde{c} \coloneqq c \circ \phi^{-1} : J \to \R^n$ nach
  BL parametrisiert ist, dann definieren wir $\kappa_c(t) \coloneqq \kappa_{\tilde{c}}(\phi(t))$.
\end{defn}

\begin{satz}[\emph{Fenchel}]
  Für eine geschlossene reguläre glatte (oder $\Cont^2$) Kurve $c : \cinterval{a}{b} \to \R^3$ gilt $\overline\kappa(c) \geq 2 \pi$. Gleichheit tritt genau dann ein, wenn $c$ eine einfach geschlossene konvexe reguläre glatte (oder $\Cont^2$) Kurve ist, die in einer affinen Ebene des $\R^3$ liegt.
\end{satz}

\begin{samepage}

\begin{satz}
  Sei $v : \cinterval{0}{b} \to S^2 \subset \R^3$ eine stetige rektifizierbare Kurve der Länge $L < 2 \pi$
mit $c(0) = c(b)$, so liegt das Bild von $v$ ganz in einer offenen Hemisphäre.
\end{satz}

% Vorlesung vom 6.11.2013

% Kapitel 2.
\section{Lokale Flächentheorie}

% Kapitel 2.1. Erinnerung an die Analysis

\end{samepage}

\begin{nota}
  Sei im Folgenden $m \in \N$ und $U \subset \R^m$ offen.
\end{nota}

\begin{defn}
  Sei $f : U \to \R^n$ eine Abbildung und $v \in \R^m \setminus \{ 0 \}$. Dann heißt
  \[ \partial_v f(u) \coloneqq \lim_{h \to 0} \tfrac{f(u + hv) - f(u)}{ h } \]
  \emph{Richtungsableitung} von $f$ im Punkt $u$ (falls der Limes existiert).
\end{defn}
\begin{defn}
  Für $v = e_j$ heißt $\partial_j f(u) \coloneqq \partial_{e_j} f(u)$ \emph{partielle Ableitung} nach der $j$-ten Variable. Falls die partielle Ableitung für alle $u \in U$ existiert, erhalten wir eine Funktion $\partial_j : U \to \R^n, u \mapsto \partial_j f(u)$.
\end{defn}

\begin{nota}
  $\partial_{j_1, j_2, \ldots, j_k} f \coloneqq \partial_{j_1} ( \partial_{j_2} ( \ldots ( \partial_{j_k} f) ) )$
\end{nota}

\begin{defn}
  Eine Abbildung $f : U \to \R^n$ heißt $\Cont^k$-Abbildung, wenn alle $k$-ten partiellen Ableitungen von $f$ existieren und stetig sind. \\
  Wenn $f \in \Cont^k$ für beliebiges $k \in \N$, so heißt $f$ \emph{glatt}.
\end{defn}

\begin{satz}[\emph{Schwarz}]
  Ist $f$ eine $\Cont^k$-Abbildung, so kommt es bei allen $l$-ten partiellen Ableitungen mit $l \leq k$ nicht auf die Reihenfolge der partiellen Ableitungen an.
\end{satz}

\begin{defn}
  Eine Abbildung $f : U \to \R^n$ heißt in $u \in U$ \emph{total diff'bar}, wenn gilt: Es gibt eine lineare Abbildung $D_u f = \partial f_u : \R^m \to \R^n$, genannt das \emph{totale Differential} von $f$ in $u$, sodass
  \[
    f(u + h) = f(u) + \partial f_u(h) + o(h)
  \]
  für genügend kleine $h \in \R^n$ und eine in einer Umgebung von $0$ definierte Funktion $o : \R^n \to \R^m$ mit $\lim_{h \to 0} \tfrac{o(h)}{\norm{h}} = 0$ gilt.
\end{defn}

\begin{defn}
  Für eine total differenzierbare Funktion $f$ heißt die Matrix $J_u f = (D_u f(e_1), \ldots, D_u f(e_n))$ \emph{Jacobi-Matrix} von $f$ in $u$.
\end{defn}

\begin{bem}
Es gelten folgende Implikationen:\\
$\quad\quad\,\,\, f$ ist stetig partiell differenzierbar\\
$\implies$ $f$ ist total differenzierbar ($\!\implies f$ ist stetig)\\
$\implies$ $f$ ist partiell differenzierbar
\end{bem}

% Ausgelassen: Kettenregel

\begin{defn}
  Eine total differenzierbare Abbildung $f : U \to \R^n$ heißt \emph{regulär} oder \emph{Immersion}, wenn für alle $u \in U$ gilt: $\mathrm{Rang}(J_u f) = m$, \dh{} alle partiellen Ableitungen sind in jedem Punkt linear unabhängig und $J_u f$ ist injektiv. Insbesondere muss $m \leq n$ gelten.
\end{defn}

% Kapitel 2.2. Die erste Fundamentalform

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine (glatte) Immersion. Dann heißt das Bild $f(U)$ \emph{immergierte Fläche}, \emph{immersierte Fläche} oder \emph{param. Flächenstück}. Sei $\tilde{U}$ offen in $\R^n$ und $\phi : \tilde{U} \to U$ ein Diffeo, dann heißt $\tilde{X} \coloneqq X \circ \phi : \tilde{U} \to \R^n$ \emph{Umparametrisierung} von $X$.
\end{defn}

\begin{nota}
  Sei im Folgenden $X : U \to \R^n$ eine Immersion.
\end{nota}

\begin{defn}
  Der \emph{Tangentialraum} von $X$ in $u \in X$ ist
  \[ T_u X \coloneqq \Span(\partial_1 X(u), \ldots, \partial_m X(u)) = \mathrm{Bild}(D_u X) \subset \R^n. \]
  Das Kompl. $N_u X \coloneqq (T_u X)^\perp \subset \R^n$ heißt \emph{Normalraum} an $X$ in $u$.
\end{defn}

\begin{bem}
  Für $u \in U$ definiert
  \[ \langle v, w \rangle_u \coloneqq \langle D_u X(v), D_u X(w) \rangle_{\mathrm{eukl}} \]
  ein Skalarprodukt auf dem $\R^m$. Die Positiv-Definitheit folgt dabei aus der Injektivität von $D_u$.
\end{bem}

\begin{nota}
  $\SymBil(\R^m) \coloneqq \{ \text{symm. Bilinearformen auf $\R^m$} \}$
\end{nota}

\begin{defn}
  Die \emph{erste Fundamentalform} (1.\,FF) einer Immersion $X$ ist
  \[ \FFI : U \to \SymBil(\R^m), \quad u \mapsto \FFI_u \coloneqq \langle \cdot , \cdot \rangle_u. \]
  Äquivalent dazu wird auch die Abbildung
  \[ g : U \to \R^{m \times m}, \quad u \mapsto g_u \coloneqq (J_u X)^T (J_u X) \]
  manchmal als erste Fundamentalform bezeichnet.
\end{defn}

\begin{defn}
  Sei $c : \cinterval{a}{b} \to \R^n$ eine glatte Kurve. Wir nennen $c$ eine \emph{Kurve auf $X$}, wenn es eine glatte Kurve $\alpha : \cinterval{a}{b} \to U$ mit $c = X \circ \alpha$ gibt.
\end{defn}

\begin{bem}
  Dann gilt $L(c) \coloneqq \Intabdt{\norm{c'(t)}} = \Intabdt{\norm{D_{\alpha(t)} X(\alpha'(t))}}$.
\end{bem}

\begin{bem}
  Seien $c_1 = X \circ \alpha_1$ und $c_2 = X \circ \alpha_2$ zwei reguläre Kurven auf $X$, die sich in einem Punkt schneiden, \dh{} $\alpha_1(t_1) = \alpha_2(t_2) =: u$. Dann ist der Schnittwinkel $\measuredangle(c_1'(t), c_2'(t))$ gegeben durch:
  \begin{align*}
    \cos(\measuredangle(c_1'(t), c_2'(t))) &= \tfrac{\langle c_1'(t_1) , c_2'(t_2) \rangle}{\norm{c_1'(t_1)} \cdot \norm{c_2'(t_2)}} \\
    &= \tfrac{I_u(\alpha_1'(t_1), \alpha_2'(t_2))}{\sqrt{I_u(\alpha_1'(t_1), \alpha_1'(t_1)) \cdot I_u(\alpha_2'(t_2), \alpha_2'(t_2))}}
  \end{align*}
\end{bem}

\begin{defn}
  Sei $C \subset U$ eine kompakte messbare Teilmenge, dann heißt
  \[
    A(X(C)) \coloneqq \Int{C}{}{ \sqrt{\det(g_u)} }{u}
    \quad \text{\emph{Flächeninhalt} von $X(C)$.}
  \]
\end{defn}

\begin{satz}[Transformation der ersten FF]
  Sei $\tilde{X} = X \circ \phi$ eine Umparametrisierung von $X$ mit einem Diffeo $\phi : \tilde{U} \to U$, dann gilt
  \[ \fa{\tilde{u} \in \tilde{U}} \tilde{g}_{\tilde{u}} = (J_{\tilde{u}} \tilde{X})^T (J_{\tilde{u}} \tilde{X}) = (J_{\tilde{u}}(\phi))^T \cdot g_{\phi(\tilde{u})} \cdot (J_{\tilde{u}}(\phi)). \]
\end{satz}

\begin{bsp}
  Sei $c : I \to \R_{> 0} \times \R, \enspace t \mapsto (r(t), z(t))$ regulär, glatt. Dann heißt
  \[ X : I \times \R \to \R^3, \quad (t, s) \mapsto (r(t) \cos(s), r(t) \sin(s), z(t)) \]
  \emph{Drehfläche} mit Profilkurve $c$. Es gilt:
  \[ g_{(t, s)} = \begin{pmatrix} \norm{c'(t)}^2 & 0 \\ 0 & r(t)^2 \end{pmatrix} \]
\end{bsp}

\begin{bsp}[Kugelfläche] Die Einheitssphäre im $\R^3$ ist
\[ X : \R^2 \to \R^3, \quad (s, t) \mapsto (- \sin(t) cos(t), \cos^2(t), \sin(t)). \]
\end{bsp}

\begin{defn}
  Zwei Immersionen $X : U \to \R^n$ und $\tilde{X} : \tilde{U} \to \R^k$ heißen \emph{lokal isometrisch}, wenn es eine Umparam. $\phi : U \to \tilde{U}$ gibt, sodass die ersten Fundamentalformen von $X$ und $\tilde{X} \circ \phi$ übereinstimmen. \\
  Ist eine Immersion $X$ isometrisch zu einer Immersion, deren Bild eine offene Teilmenge einer affinen Ebene ist, so heißt $X$ \emph{abwickelbar}.
\end{defn}

% Ausgelassen:
% Beispiel: Zylinderfläche
% Beispiel: flacher Torus
% Beispiel: Kegelfläche
% Beispiel: Katenoid und Wendelfläche
% Beispiel: Regelfläche

% Kapitel 2.3. Gaußabbildung

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine Immersion mit $U \subset \R^{n-1}$ offen. Dann heißt $X$ \emph{Hyperfläche} (HF) im $\R^n$.
\end{defn}

\begin{bem}
  Es gilt in diesem Fall offenbar $\dim T_u = n - 1$ und $\dim N_u = 1$ für $u \in U$ und für einen Vektor $\nu_u \in N_u X \setminus \{ 0 \}$ gilt $N_u X = \R \cdot v_u$.
\end{bem}

\begin{defn}
  $v_u \coloneqq \sum_{j=1}^{n} \det(\partial_1 X(u), \ldots, \partial_{n-1} X(u), e_j) e_j$
\end{defn}

\begin{bem}
  \inlineitem{$v_u \in N_u X \setminus \{ 0 \}$,} \enspace
  \inlineitem{$\det(\partial_1 X(u), \ldots, \partial_{n-1} X(u), v_u) > 0$,}
  \begin{itemize}
    \item Für $n = 3$ und $m = 2$ ist $v_u = \partial_1 X(u) \times \partial_2 X(u)$.
  \end{itemize}
\end{bem}

\begin{nota}
  $S^{n} \coloneqq \Set{x \in \R^{n+1}}{\norm{x} = 1}$ heißt \emph{Einheitssphäre}.
\end{nota}

\begin{defn}
  Die \emph{Gaußabbildung} einer Hyperfläche $X : U \to \R^n$ ist
  \[
    \nu : U \to S^{n-1}, \quad u \mapsto \nu_u \coloneqq \tfrac{v_u}{\norm{v_u}}.
  \]
\end{defn}

\begin{satz}
  Die Gaußabbildung einer Hyperfläche ist invariant unter orientierungserhaltenden Umparametrisierungen, \dh{} ist $\phi : \tilde{U} \to U$ ein Diffeo mit $\det(J_{\tilde{u}} \phi) > 0$ für alle $\tilde{u} \in \tilde{U}$, dann ist $\tilde{\nu} = \nu \circ \phi$.
\end{satz}

% Kapitel 2.4. Zweite Fundamentalform, Weingarten-Abbildung und Krümmungen

\begin{nota}
  $\Bil(\R^m, \R^n) \coloneqq \Set{ B : \R^m \times \R^m \to \R^n }{ B \text{ bilinear } }$
\end{nota}

\begin{defn}
  Die \emph{vektorwertige zweite Fundamentalform} ist die Abbildung einer Immersion $X$ ist die Abbildung
  \begin{align*}
    \FFII : U \to \Bil(\R^m, \R^n), \quad & u \mapsto \FFII(u) = \FFII_u, \text { mit } \\
    \FFII_u : \R^m \times \R^m \to \R^n, \quad & (v, w) \mapsto \FFII_u(v, w) \coloneqq (\partial_v \partial_w X(u))^{N_u},
  \end{align*}
  wobei $(\cdot)^{N_u}$ die orth. Projektion auf den Normalenraum bezeichnet.
\end{defn}

\begin{bem}
  Nach dem Satz von Schwarz ist $\FFII_u$ eine symm. Bilinearform.
\end{bem}

\begin{bem}
  Für eine Hyperfläche $X : U \to \R^n, \, (U \opn \R^{n-1})$ gilt
  \[ \FFII_u(v, w) = h_u(v, w) \nu_u \quad \text{ mit } \quad h_u(v, w) = \langle \FFII_u(v, w) , \nu_u \rangle. \]
\end{bem}

\begin{defn} Die Abbildung \enspace $h : U \to \SymBil(\R^{n-1}), \enspace u \mapsto h_u = h(u)$
  mit $h_u(v, w) = \langle \FFII_u(v, w), \nu_u \rangle = \langle \partial_v \partial_w X(u), \nu_u \rangle$ heißt \emph{zweite Fundamentalform} (2.\,FF) der Hyperfläche $X$.
\end{defn}

\begin{bem}
  Man kann die 2.\,FF als matrixwertige Abb. auffassen:
  \[ h : U \to \R^{(n-1) \times (n-1)}, \quad u \mapsto (h_{jk}(u)) = \langle \partial_j \partial_k X(u), \nu_u \rangle \]
\end{bem}

\begin{satz}
  Für die Gaußabbildung $\nu$ einer Hyperfläche $X : U \to \R^n$ gilt
  \[
    \langle \partial_j \nu , \partial_k X \rangle = - h_{jk}
    \quad \text{und} \quad
    \langle \partial_j \nu, \nu \rangle = 0
    \quad \text{für alle } j, k \in \{ 1, \ldots, m \}.
  \]
\end{satz}

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine Hyperfläche und $u \in U$, dann ist die
  \emph{Weingartenabbildung} von $X$ im Punkt $u$ definiert durch
  \[
    W_u \coloneqq - D_u \nu \circ (D_u X)^{-1} : T_u X \to T_u X
    \quad \text{(linear).}
  \]
\end{defn}

\begin{bem}
  Es gilt $W_u(\partial_j X(u)) = - \partial_j \nu(u)$.
\end{bem}

\begin{satz}
  \begin{itemize}
    \item $W_u$ ist selbstadjungiert bzgl. der Einschränkung $\langle \cdot , \cdot \rangle_{T_u}$.
    \item $h_{jk}(u) = \langle W_u(\partial_j X(u)), \partial_k X(u) \rangle$
    \item Die Weingartenabb. ist invariant unter orientierungserhaltenden Umparam., \dh{} ist $\phi : \tilde{U} \to U$ ein Diffeo mit $\det(J\phi) > 0$, dann gilt für $\tilde{X} \coloneqq X \circ \phi$ und alle $\tilde{u} \in \tilde{U}$: $W_{\phi(\tilde{u})} = \tilde{W}_{\tilde{u}}$.
  \end{itemize}
\end{satz}

% Vorlesung vom 13.11.2013

\begin{satz}
  Sei $g_u = (g_{jk}(u))$ die Matrix der ersten und $h_u = (h_{jk}(u))$ die Matrix der zweiten FF einer Hyperfläche $X$. \\
  Dann gilt für die Matrix $w_u = (w_{jk}(u))$ von $W_u$ bzgl. der Basis $\{ \partial_1 X(u), \ldots, \partial_{n-1} X(u) \}$ von $T_u X$:
  \[ w_u = g_u^{-1} \cdot h_u \]
\end{satz}

\begin{bem}
  Die Weingartenabbildung ist als selbstadjungierter Endomorphismus reell diagonalisierbar (Spektralsatz).
\end{bem}

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine Hyperfläche.
  \begin{itemize}
    \item Die Eigenwerte $\kappa_1(u), \ldots, \kappa_{n-1}(u)$ mit Vielfachheiten von $W_u$ heißen \emph{Hauptkrümmungen} von $X$ in $u$ und die dazugehörigen Eigenvektoren \emph{Hauptkrümmungsrichtungen} von $X$ in $u$.
    \item Die \emph{mittlere Krümmung} von $X$ ist definiert als
    \[ H : U \to \R, \quad u \mapsto \tfrac{1}{n-1} \, \spur(W_u) = \tfrac{1}{n-1} \sum_{j=1}^{n-1} \kappa_j(u). \]
    \item Die \emph{Gauß-(Kronecker-)Krümmung} von $X$ ist die Abbildung
    \[ K : U \to \R, \quad u \mapsto \det(W_u) = \tfrac{\det(h_u)}{\det(g_u)} = \prod_{j=1}^{n-1} \kappa_j(u). \]
  \end{itemize}
\end{defn}

\begin{satz}
  Die Hauptkrümmungen, die mittlere Krümmung und die Gauß-Kronecker-Krümmung sind invariant unter orientierungserhaltenden Umparametrisierungen.
\end{satz}

\begin{bsp}
  Für die Drehfläche (s.\,o.) von $c = (r, z) : I {\to} \R_{>0} {\times} \R$ gilt:
  \[
    w = \left( \begin{smallmatrix} \kappa & 0 \\ 0 & \tfrac{z'}{\abs{c'} r} \end{smallmatrix} \right), \quad
    \kappa_1 = \tfrac{\det(c', c'')}{\abs{c'}^3} = \tfrac{z'' r' - r'' z'}{\abs{c'}^3}, \quad
    \kappa_2 = \tfrac{z'}{\abs{c'} r}.
  \]
\end{bsp}

% Kapitel 2.5. Lokale Form von Hyperflächen

% Vorlesung vom 18.11.2013

\begin{satz}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine Hyperfläche und $u_0 \in U$ ein Punkt. Dann gibt es eine offene Umgebung $U_0 \opn U$ von $u_0$ und eine Umparametrisierung $\phi : U_0 \to \tilde{U}$, sodass für $\tilde{X} \coloneqq X \circ \phi^{-1}$ gilt:

  Es gibt eine glatte (bzw. $\Cont^2$) Funktion $f : \tilde{U} \to \R$ mit $D_{\phi(u_0)} f = 0$, sodass $\tilde{X} = \Graph(f)$, \dh{} es gilt für alle $\tilde{u} \in \tilde{U}$:
  \[ \tilde{X}(\tilde{u}) = (\tilde{u}, f(\tilde{u})). \]
\end{satz}

\begin{nota}
  $\nabla f = (\partial_1 f, \ldots, \partial_k f)$ heißt \emph{Gradient} von $f : \R^k \to \R^m$.
\end{nota}

\begin{satz}
  Sei $U \opn \R^{n-1}$ und $f : U \to \R$ glatt. Dann ist die zweite FF der Graphen-Hyperfläche $X : U \to \R^n, u \mapsto (u, f(n))$
  \[ h_{jk}(u) = \tfrac{\partial_{jk} f(u)}{\sqrt{1 + |\nabla f(u)|^2}}. \]
\end{satz}

\begin{satz}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine HF, $u_0 \in U$, sowie $E_{u_0} \coloneqq X(u_0) + T_{u_0} X$ die affine Tangentialebene an $X$ in $u_0$. Dann gilt:
  \begin{itemize}
    \item Ist $K(u_0) > 0$, so liegt für eine kleine offene Umgebung $U_0 \subset U$ von $u_0$ das Bild $X(U_0)$ ganz auf einer Seite von $E_{u_0}$.
    \item Ist $K(u_0) < 0$, so trifft für jede Umgebung $U_0 \subset U$ von $u_0$ das Bild $X(U_0)$ beide Seiten von $E_{u_0}$.
  \end{itemize}
\end{satz}

% Vorlesung vom 20.11.2013

% Kapitel 2.6. Normalenkrümmung und Normalenschnitte

% Sei $X : U \to \R^n$ eine Hyperfläche

\begin{defn}
  Sei $u_0 \in U, v \in T_{u_0} X, P_v \coloneqq X(u_0) + \Span(v, \nu(u_0))$.
  Sei $U_0 \subset U$ eine offene Umgebung von $u_0$, dann heißt
  \[
    P_v \cap X(U_0)
    \quad \text{\emph{Normalenschnitt} in $u_0$ in Richtung $v$.}
  \]
\end{defn}

\begin{satz}
  Wenn $U_0$ hinreichend klein, dann ist $P_v \cap X(U_0)$ Bild einer regulären glatten Kurve.
\end{satz}

\begin{defn}
  Für $u \in U$ und $v \in \R^n$ mit $\norm{v} = 1$ heißt
  \[
    \kappa_v(u) \coloneqq \langle W_u v, v \rangle
    \quad \text{\emph{Normalenkrümmung} in $u$ in Richtung $v$}.
  \]
\end{defn}

\begin{bem}
  Sei $\norm{v} = 1$. Sei $c : I \to P_v \tilde{=} \R^2$ nach BL parametrisiert, sodass $\Bild(c) = P_v \cap X(U_0)$, und $c(0) = X(u_0)$ und $c'(0) = v$. Dann: $\kappa_v(u) = \kappa_c(0)$
\end{bem}

\begin{satz}
  Die Hauptkrümmungen $\kappa_1(u_0), \kappa_2(u_0)$ einer HF $X : U \to \R^3$ in $u_0 \in U$ sind die Extrema der Abbildung
  \[ T_{u_0} X \supset S^1 \to \R, \quad v \mapsto \kappa_v(u_0) = \langle W_{u_0} v, v \rangle. \]
\end{satz}

\begin{samepage}

% Kapitel 2.7.
\subsection{Die Levi-Civita-Ableitung}

\begin{defn}
  Ein \emph{Vektorfeld} (VF) auf einer offenen Menge $U \opn \R^m$ ist eine Abbildung $v : U \to \R^m$.
\end{defn}

\begin{nota}
  $\chi(U) = \Set{ v : U \to \R^n }{ \text{$v$ glatt} }$
\end{nota}

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine immergierte Fläche, $U \opn \R^m$. Ein \emph{tangentiales Vektorfeld} längs $X$ ist eine glatte Abbildung
  \[
    V : U \to \R^n
    \quad \text{mit} \quad
    \fa{u \in U} V(u) \in T_u X.
  \]
\end{defn}

\begin{bem}
  Mit typtheoretischer Syntax ist ein tangentiales Vektorfeld längs $X$ eine glatte Abbildung $V : \prod_{u : U} T_u X$.
\end{bem}

\end{samepage}

\begin{nota}
  $\chi(TX) = \Set{ V : U \to \R^n }{ \text{$V$ ist tang. VF längs $X$} }$
\end{nota}

\begin{bem}
  Folgende Abbildung ist eine Bijektion:

  \begin{align*}
     H : \chi(U) \to \chi(TX), \quad &v \mapsto v^{\wedge} \coloneqq \partial_v X, \text{ wobei}\\
     \partial_v X : \prod_{u : U} T_u X, \quad &u \mapsto \partial_{v(u)} X(u)
   \end{align*} 
\end{bem}

\begin{nota}
  Für ein glattes Vektorfeld $Y : U \to \R^n$ bezeichnet $Y^T$ das tangentiale Vektorfeld längs $X$ definiert durch
  \[ Y^T : \prod_{u : U} T_u X, \quad u \mapsto (Y(u))^{T_u X}. \]
\end{nota}

\begin{defn}
  $\nabla : \chi(U) \times \chi(TX) \to \chi(TX), \quad (w, V) \mapsto \nabla_w V \coloneqq (\partial_w V)^T$\\
  heißt \emph{Levi-Civita-Ableitung} von $V$ in Richtung $w$.
\end{defn}

\begin{acht}
  Gradient $\not=$ Levi-Civita-Ableitung (trotz Symbol $\nabla$)!
\end{acht}

\begin{satz}[Eigenschaften der Levi-Civita-Ableitung]\mbox{}\\
  Sei $f : U \to \R$ glatt, $w_1, w_2, w \in \chi(U)$, $V, V_1, V_2 \in \chi(TX)$. Dann gilt:
  \begin{itemize}
    \item $\nabla_{f(w_1) + w_2} V = f \cdot \nabla_{w_1} V + \nabla_{w_2} V$ \pright{Linearität 1}
    \item $\nabla_w (V_1 + V_2) = \nabla_w V_1 + \nabla_w V_2$ \pright{Linearität 2}
    \item $\nabla_w (f \cdot V) = f \cdot (\nabla_w V) + \partial_w f \cdot V $ \pright{Produktregel}
    \item $\partial_w \langle V_1, V_2 \rangle = \langle \nabla_w V_1 , V_2 \rangle + \langle V_1 , \nabla_w V_2 \rangle$ \pright{Metrizität}
  \end{itemize}
\end{satz}

% Vorlesung vom 25.11.2013

\begin{nota}
  Sei $j \in \{1, \ldots, m\}$, dann betrachten wir die konstante Abbildung $e_j : U \to \R^n, u \mapsto e_j$. Wir setzen $\nabla_j V \coloneqq \nabla_{e_j} V$.
\end{nota}

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine Immersion, so schreiben wir:
  \[ \nabla_j (\partial_k X) = \sum_{l=1}^m \Gamma_{jk}^l \partial_l (X)  \qquad \text{für $j,k \in \{ 1, \ldots, m \}$.} \]
  Dabei heißen die Funktionen $\Gamma_{jk}^l : U \to \R$ \emph{Christoffel-Symbole}.
\end{defn}

\begin{nota}
  $\Gamma_{jkl} \coloneqq \sum_{r=1}^m g_{rl} \Gamma_{jk}^r : U \to \R$
\end{nota}

\begin{satz}
  $\Gamma_{jkl}\!=\!\sum_{r=1}^m \Gamma_{jk}^{r} \langle \partial_r X, \partial_l X \rangle\!=\!\langle \nabla_j (\partial_k X), \partial_l X \rangle\!=\!\langle \partial_j (\partial_k X), \partial_l X \rangle$
\end{satz}

\begin{satz}
    Es gilt $\Gamma_{jk}^l = \Gamma_{kj}^l \,\, \text{und} \,\, \Gamma_{jkl} = \tfrac{1}{2} (\partial_j \cdot g_{kl} + \partial_k \cdot g_{jl} + \partial_l \cdot g_{jk})$.
\end{satz}

\begin{bem}
  Die Christoffelsymbole kann man aus der 1.\,FF berechnen (hier sind $g^{lh}$ die Komponenten von $g^{-1}$):
  \[
    \Gamma_{jk}^l = \sum_{h=1}^m g^{lh} \cdot \Gamma_{jkh} 
    = \tfrac{1}{2} \sum_{h=1}^m g^{lh} \cdot (\partial_j \cdot g_{kh} + \partial_k \cdot g_{jh} + \partial_h \cdot g_{jk}).
  \]
\end{bem}

\begin{bem}
  Schreiben wir $V = \sum_{k=1}^m v^k \partial_k X$ für $V \in \chi(TX)$, dann ist
  \[ \nabla_j V = \sum_{l=1}^m \left( \partial_j v^l + \sum_{k=1}^m \Gamma_{jk}^l v^k \right) \partial_l X. \]
\end{bem}


% \subsection{Levi-Civita-Ableitung für Vektorfelder auf $U$}

\begin{defn}[Levi-Civita-Ableitung für Vektorfelder auf $U$]\mbox{}\\
  Sei $X : U \to \R^n$ eine immergierte Fläche, so heißt
  \begin{align*}
    \nabla_ : \chi(U) \times \chi(U) &\to \chi(U) \\[-12pt]
    (w, v) &\mapsto \nabla_w v = H^{-1}(\nabla_w \overbrace{H(v)}^{=\,v^\wedge})
  \end{align*}
  \emph{Levi-Civita-Ableitung} von $v$ in Richtung $w$.
\end{defn}

\begin{bem}
  Schreiben wir $V = \sum v^k \partial_k X$ für $V \in \chi(TX)$, dann ist
  \begin{align*}
    \nabla_j V =& \sum_{l=1}^m \left( \partial_j v^l + \sum_{k=1}^m \Gamma_{jk}^l v^k \right) e_l = \partial_j V + \Gamma_j V \enspace \text{mit}\\
    \Gamma_j :& \,\, U \to \R^{m \times m}, \,\, u \mapsto (\Gamma_{jk}^l(u))_{lk}.
  \end{align*}
\end{bem}

\begin{satz}
  Seien $v, v_1, v_2, w, w_1, w_2 \in \chi(U), f : U \to \R$ glatt. Dann:
  \begin{itemize}
    \item $\nabla_{f \cdot w_1 + w_2} v = f \cdot \nabla_{w_1} v + \nabla_{w_2} v$ \pright{Linearität 1}
    \item $\nabla_w (v_1 + v_2) = \nabla_w v_1 + \nabla_w v_2$ \pright{Linearität 2}
    \item $\nabla_w (f \cdot v) = f \cdot (\nabla_w v) + (\nabla_w f) \cdot v$ \pright{Produktregel}
    \item $\partial_w \FFI(v_1, v_2) = \FFI(\nabla_w v_1, v_2) + \FFI(v_1, \nabla_w v_2)$ \pright{verträglich mit 1.\,FF}
  \end{itemize}
\end{satz}


% \subsection{Tangentiale Vektorfelder längs Kurven}

\begin{defn}
  Sei $\alpha : \cinterval{a}{b} \to U$ eine glatte, reguläre Kurve, $c \coloneqq X \circ \alpha$. Eine glatte Abbildung $V : \cinterval{a}{b} \to \R^n$ mit $V(t) \in T_{\alpha(t)} X \forall t \in \cinterval{a}{b}$ \emph{tangentiales Vektorfeld} längs $c$.
\end{defn}

% \begin{defn}
%   Typtheoretisch ist ein tangentiales VF längs $c$ eine glatte Abbildung $V : \prod_{t : \cinterval{a}{b}} T_{\alpha(t)} X$.
% \end{defn}

\begin{bem}
  Eine glatte Abbildung $v : U \to \R^m$ bestimmt eindeutig ein tang. VF vermöge
  \[ V(t) \coloneqq v^\wedge(t) = \partial_{v(t)} X(\alpha(t)) = J_{\alpha(t)} X \cdot v(t). \]
  Schreiben wir $v = \sum v^j e_j$ und $\alpha = \sum \alpha^j e_j$, so gilt für $V = v^\wedge$:
  \[ V' = \tfrac{\d}{\d t} V = \sum_{j=1}^m (v^j)' (\partial_j X \circ \alpha) + \sum_{j,k=1}^m v^j (\alpha^k)' (\partial_k \partial_j X \circ \alpha). \]
\end{bem}

% Vorlesung vom 27.11.2013

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine Immersion und $c = X \circ \alpha$ eine reguläre glatte Kurve auf $X$. Sei $V$ ein tang. VF längs $c$, dann heißt
  \[ \tfrac{\nabla V}{\d t} \coloneqq (V')^T \]
  die \emph{Levi-Civita-Ableitung} von $V$ längs $c$. Das tang. VF $V$ heißt \emph{(Levi-Civita-)parallel}, wenn gilt
  \[ \tfrac{\nabla V}{\d t} = 0. \]
\end{defn}

\begin{bem}
  Für $\alpha, v, V$ aus der letzten Bemerkung folgt
  \[ \frac{\nabla V}{\d t} = \sum_{l=1}^m \left( (v^l)' + \sum_{j,k=1}^m v^j (\alpha^k)' (\Gamma_{jk}^l \circ \alpha) \right) (\partial_l X \circ \alpha). \]
\end{bem}

\begin{nota}
  $\hat{\Gamma}_{\alpha} : \cinterval{a}{b} \to \R^{m \times m}, \,\, (\hat{\Gamma}_{\alpha}(t))_{jl} = \sum_{k=1}^m \Gamma_{jk}^l (\alpha(t))((\alpha^k)'(t))$
\end{nota}

\begin{defn}
  Wir fassen eine glatte Abbildung $v : \cinterval{a}{b} \to \R^m$ als VF längs $\alpha : \cinterval{a}{b} \to U$ auf. Dann nennen wir
  \[ \frac{\nabla v}{\d t} \coloneqq \sum_{l=1}^m \left( (v^l)' + \sum_{j,k=1}^m v^j (\alpha^k)' (\Gamma_{jk}^l \circ \alpha) \right) e_l = v' + \hat{\Gamma}_{\alpha} v \]
  \emph{Levi-Cevita-Ableitung} von $v$ längs $\alpha$.
\end{defn}

\begin{satz}
  Es gilt dann $\tfrac{\nabla (v^\wedge)}{\d t} = \left( \tfrac{\nabla v}{\d t} \right)^\wedge$. Ein VF $V = v^\wedge$ ist also genau dann parallel, wenn $v' + \hat{\Gamma}_\alpha v = 0$ bzw.
  \[ (v^l)' + \sum_{j,k=1}^m v^j (\alpha^k)' (\Gamma_{jk}^l \circ \alpha) = 0 \quad \text{für alle $l = 1, \ldots, m$.} \]
\end{satz}

\begin{bem}
  Es handelt sich bei $v' + \hat{\Gamma}_\alpha v = 0$ um ein System linearer Differentialgleichungen (mit nicht konstanten stetigen Koeffizienten). Damit existiert bei gegebenem Anfangswert $v(a)$ eine auf ganz $\cinterval{a}{b}$ definierte eindeutige Lösung der Differentialgleichung.
\end{bem}

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine Immersion und $c = X \circ \alpha : \cinterval{a}{b} \to \R$ eine reguläre glatte Kurve auf $X$. Für $t \in \cinterval{a}{b}$ heißt die Abbildung
  \[ P_t^c : T_{\alpha(a)} X \to T_{\alpha(t)} X, \quad x \mapsto V_x(t), \]
  wobei $V_x : \cinterval{a}{b} \to \R^n$ das parallele tangentiale VF längs $c$ mit Anfangsbedingung $V_x(a) = x \in T_{\alpha(a)} X$ ist, \emph{Parallelverschiebung} längs $c$ von $c(a)$ nach $c(t)$.
\end{defn}

\begin{samepage}

\begin{satz}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine Immersion und $c = X \circ \alpha : \cinterval{a}{b} \to \R^n$ eine reguläre glatte Kurve auf $X$. Für alle $t \in \cinterval{a}{b}$ ist die Abbildung $P_t^c : T_{\alpha(a)} X \to T_{\alpha(t)} X$ eine lineare Isometrie, \dh{} $P_t^c$ ist linear und es gilt $\langle x, y \rangle = \langle P_t^c x, P_t^c y \rangle$ für alle $x, y \in T_{\alpha(a)} X$.
\end{satz}

% Vorlesung vom 2.12.2013

% Kapitel 2.8
\subsection{Geodäten}

\end{samepage}

\begin{defn}
  Eine reg. glatte Kurve $c = X \!\circ\! \alpha$ auf $X$ heißt \emph{Geodäte}, wenn
  \[ (c'')^T = \tfrac{\nabla c'}{\d t} = 0 \quad\text{bzw.}\quad \tfrac{\nabla \alpha'}{\d t} = 0. \]
\end{defn}

\begin{satz}
  Jede Geodäte ist prop. zur BL param., \dh{} $\norm{c'}$ ist konstant.
\end{satz}

\begin{bem}
  Sei $c = X \circ \alpha$ mit $\alpha = \sum \alpha^j e_j$ mit glatten Abb. $\alpha^j$. Dann gilt
  \[ \frac{\nabla c'}{\d t} = \sum_{l=1}^m \left( (\alpha^l)'' + \sum_{j,k=1}^m (\alpha^j)' (\alpha^k)' (\Gamma_{jk}^l \circ \alpha) \right) (\partial_l X \circ \alpha). \]
  Somit ist $c$ genau dann eine Geodäte, wenn gilt
  \[ (\alpha^l)'' + \sum_{j,k=1}^m (\alpha^j)' (\alpha^k)' (\Gamma_{jk}^l \circ \alpha) = 0 \quad \text{für alle $l = 1, \ldots, m$} \]
  oder $\alpha'' + \Gamma_{\alpha}(\alpha', \alpha') = 0$ (i.\,F. \emph{Geodätengleichung}), wobei
  \begin{align*}
    \Gamma_{\alpha} : \cinterval{a}{b} &\to \Bil(\R^m, \R^m), \  t \mapsto \Gamma_{\alpha(t)} \text{ mit }\\
    \Gamma_{\alpha(t)}(v, w) &= \sum_{j,k,l=1}^m v^j w^k \Gamma_{jk}^l (\alpha(t)) e_l.
  \end{align*}
\end{bem}

\begin{bem}
  Es handelt sich hierbei um ein System nichtlinearer gew. DG zweiter Ordnung, welches nach dem Satz von Picard-Lindelöf bei geg. Anfangswerten eine eindeutige lokale Lsg besitzt. Es folgt:
\end{bem}

\begin{satz}[Lokale Existenz von Geodäten]
  Sei $X : U \to \R^n$ eine Immersion, sei $u \in U$ und $w \in \R^m$. Dann gibt es eine offene Umgebung $U_w \opn \R^m$ von $w$ und eine $\epsilon > 0$, sodass gilt: \\
  Für jedes $v \in U_w$ gibt es eine eindeutige Lösung $\alpha_v : \ointerval{-\epsilon}{\epsilon} \to U$ der Geodätengleichung mit $\alpha_v(0) = u$ und $\alpha_v'(0) = v$. \\
  Anders ausgedrückt: Zu jedem $u \in U$ und zu jedem $W \in T_u X$ gibt es eine offene Umgebung $U_W \opn T_u X$ von $W$ sowie ein $\epsilon > 0$, sodass es für jedes $V \in U_W$ eine eindeutige Geodäte $c_v : \ointerval{-\epsilon}{\epsilon} \to \R^n$ auf $X$ gibt mit $c_v(0) = X(u)$ und $c_v'(0) = V$.
\end{satz}

\begin{satz}[\emph{Spray-Eigenschaft}]
  Sei $\alpha_v : \ointerval{-\epsilon}{\epsilon} \to U$ die eindeutige Lsg. der Geodätengleichung mit $\alpha_v(0) = u$ und $\alpha_v'(0) = v$ und $r > 0$. Dann ist die eindeutige Lösung der Geodätengleichung $\alpha_{rv}$ mit $\alpha_{rv}(0) = rv$ und $\alpha_{rv}'(0) = rv$ auf dem Intervall $\ointerval{-\tfrac{\epsilon}{r}}{\tfrac{\epsilon}{r}}$ definiert und es gilt
  $\alpha_{rv}(t) = \alpha_v(rt)$ für alle $t \in \ointerval{-\tfrac{\epsilon}{r}}{\tfrac{\epsilon}{r}}$.
\end{satz}

% todo: 2.48
\begin{satz}
  Sei $u \in U$. Dann gibt es ein $\epsilon_u > 0$, sodass für alle $v \in \overline{B_u^{\epsilon_u}}$ gilt: Die Geodätengleichung besitzt eine auf $\cinterval{-1}{1}$ definierte Lösung $\alpha_v$ mit $\alpha_v(0) = u$ und $\alpha_v'(0) = v$.
\end{satz}

\begin{defn}
  Die \emph{(geodätische) Exponentialabb.} von $X$ in $u \in X$ ist
  \[ \Exp_u : B_u^{\epsilon_u} \to U, \quad v \mapsto \alpha_v(1). \]
\end{defn}

\begin{defn}
  Sei $u \in U$, dann gibt es ein $0 < \epsilon \leq \epsilon_u$, sodass $\Exp_u|B_u^\epsilon$ ein Diffeomorphismus auf sein Bild ist.
\end{defn}

% Vorlesung vom 4.12.2013

\begin{defn}
  Sei $\alpha : \cinterval{a}{b} \to U$ eine glatte Kurve, sodass $X \circ \alpha$ nach BL parametrisiert ist. Eine zweimal stetig differenzierbare Abbildung
  \[ \ointerval{-\epsilon}{\epsilon} \times \cinterval{a}{b} \to U, \quad (s, t) \mapsto \alpha_s(t) \]
  mit $\alpha_0 = \alpha$ heißt eine \emph{Variation} von $\alpha$. Ist nun $X : U \to \R^n$ eine Immersion, so erhalten wir auch eine Variation der Kurve $c \coloneqq X \circ \alpha$ auf $X$ durch andere Kurven, nämlich $c_s \coloneqq X \circ \alpha_s$ auf $X$.
\end{defn}

\begin{nota}
  $\delta \coloneqq \tfrac{\partial}{\partial s}|_{s=0}$.
\end{nota}

\begin{satz}[\emph{Variationsformel der Länge}]
  Unter o.\,g. Annahmen gilt
  \[ \delta L(c_s) = \langle c'(b), \delta c_s(b) \rangle - \langle c'(a), \delta c_s(a) \rangle - \Int{a}{b}{\langle (c''(t))^T, \delta c_s(t) \rangle}{t}. \]
\end{satz}

\begin{satz}[\emph{Gaußlemma}]
  Die Param. $\widetilde{X} \coloneqq X \circ \Exp_u : B_u^\epsilon \to \R^n$ durch Exponentialkoordinaten ist eine radiale Isometrie: \\
  Seien $v \in B_u^{\epsilon_u} \setminus \{0\}$ und $w \in \R^m$ und zerlegen wir $w$ in $w = w_{\|} + w_\perp$ mit $w_{\|} \in \R v$ und $\langle w_\perp, v \rangle = 0$, dann gilt
  \begin{align*}
    \norm{D_v \widetilde{X}(w_{\|})} &= \norm{w_{\|}}\\
    D_v \widetilde{X}(w) &\perp D_v \widetilde{X}(v), \quad \text{wenn $w \perp v$  und somit }\\
    \norm{D_v \widetilde{X}(w)}^2 &= \norm{w_{\|}}^2 + \norm{D_v \widetilde{X}(w_{\perp})}^2.
  \end{align*}
\end{satz}

% Vorlesung vom 9.12.2013

\begin{satz}
  Sei $\gamma : \cinterval{a}{b} \to B_u^\epsilon$ regulär, glatt mit $\gamma(a) = 0$, $\gamma(b) = v$. \\
  Dann ist $L(X \circ \Exp_u \circ \gamma) \geq \norm{v}$ und es gilt $L(X \circ \Exp_u \circ \gamma) = \norm{v}$ genau dann, wenn $\gamma(t) = \rho(t)v$ mit $\rho : \cinterval{a}{b} \to \cinterval{0}{1}$ s.\,m.\,s.
\end{satz}

\begin{satz}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine Fläche, $u_0 \in U$, $\epsilon > 0$, sodass $\Exp_{u_0} : B_{u_0}^{\epsilon} \to U$ Diffeomorphismus. Sei $u \in \Exp_{u_0}(B_{u_0}^{\epsilon})$. Dann gibt es (bis auf Umparametrisierung) genau eine bzgl. der Länge
  \[ L_\FFI(\alpha) \coloneqq \Int{a}{b}{\FFI_{\alpha(t)}(\alpha'(t), \alpha'(t))}{t} \]
  kürzeste reguläre glatte Kurve $\alpha : \cinterval{a}{b} \to U$ mit $\alpha(a) = u_0$ und $\alpha(b) = u$, nämlich $\alpha : \cinterval{0}{1} \to U, \  t \mapsto \Exp_{u_0}(t \cdot \Exp_{u_0}^{-1}(u))$.
\end{satz}


% Kapitel 2.9.
%\subsection{Krümmungstensor und Theorema egregium (Gauß)}

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine Fläche, dann heißt
  \[
    [\cdot,\cdot] : \chi(U) \times \chi(U) \to \chi(U), \quad
    (v, w) \mapsto [v, w] = \partial_v w - \partial_w v
  \]
  \emph{Lie-Klammer} der Vektorfelder $v$ und $w$.
\end{defn}

\begin{satz}
  Für alle $v, w \in \chi(U)$ ist $[v, w] = \nabla_v w - \nabla_w v$.
\end{satz}

% in Koordinaten: $[v, w] = \sum_{j,k=1}^m v^j \partial_j w^k e_k - \sum_{j,k=1}^m w^j \partial_j v^k e_k$

\begin{defn}
  Der \emph{Krümmungstensor} ist die Abbildung
  \begin{align*}
    R : \chi(U) \times \chi(U) &\times \chi(U) \to \chi(U), \quad (v, w, z) \mapsto R(v, w) z \\
    \text{ mit } R(v, w) z &= \nabla_v (\nabla_w z) - \nabla_w (\nabla_v z) - \nabla_{[v, w]} z.
  \end{align*}
\end{defn}

% TODO: Trilinearität

\begin{bem}[Krümmungstensor in Koordinaten]
  Wir rechnen:
  \begin{align*}
    \nabla_j (\nabla_k z) &= \partial_j \partial_k z + (\partial_j \Gamma_k) z + \Gamma_k (\partial_j z) + \Gamma_j (\partial_k z) + \Gamma_j \Gamma_k z, \\
    R_{jk} z &\coloneqq R(e_j, e_k) z = \Gamma_j \Gamma_k z - \Gamma_k \Gamma_j z + (\partial_j \Gamma_k - \partial_k \Gamma_j) z, \\
    R_{jk} &\coloneqq R(e_j, e_k) = (\Gamma_j \cdot \Gamma_k - \Gamma_k \cdot \Gamma_j) + (\partial_j \Gamma_k - \partial_k \Gamma_j).
  \end{align*}
  Für $v = \sum v^j e_j, w = w^k e_k : U \to \R^m$ mit $v^j, w^k : U \to \R$ glatt ist
  \[ R(v, w) z = \sum_{k,j=1}^m v^k w^j (R_{kj} z) \]
  und mit $z = \sum z^l e_l : U \to \R^m, z^l : U \to \R$ glatt folgt
  \[ R(v, w) z = \sum_{i,j,k,l}^m v^i w^j z^k R_{ijk}^l e_l, \]
  wobei $R_{ijk}^l : U \to \R$ so gewählt, dass $R_{ij}(e_k) = \sum R_{ijk}^l e_l$. Es gilt:
  \[ R_{ijk}^l = \partial_i \Gamma_{jk}^l - \partial_j \Gamma_{ik}^l + \sum_{s=1}^m (\Gamma_{is}^l \Gamma_{jk}^s - \Gamma_{js}^l \Gamma_{ik}^s). \]
\end{bem}

% Vorlesung vom 11.12.2013

\begin{satz}
  Folgende Abb. ist eine antisymmetrische Bilinearform:
  \[
    \FFI_{R_{ij}} : \chi(U) \times \chi(U) \to \Cont^\infty(U, \R), \quad
    (v, w) \mapsto \underbrace{\FFI(R_{ij}, v, w)}_{\mathclap{u \mapsto \FFI_u((R_{ij} v)(u), w(u))}}
  \]
  \vspace{-8pt}
\end{satz}

\begin{nota}
  $R_{ijkl} \coloneqq \FFI_u(R_{ij}(u) e_k, e_l)$
\end{nota}

\begin{lem}
  Es gilt $- R_{jikl} = R_{ijkl} = - R_{ijlk}$.
\end{lem}

\begin{satz}[\emph{Gaußgleichung}]
  Mit $\FFII_{jk}(u) = \left( \partial_j \partial_k X(u) \right)^{N_u}$ gilt
  \[ R_{ijkl}(u) = \langle \FFII_{jk} (u) \FFII_{il}(u) \rangle - \langle \FFII_{ik}(u), \FFII_{jl}(u) \rangle. \]
\end{satz}

\begin{bem}
  Im Spezialfall, dass $X$ eine HF ist, gilt $\FFII_{jk} = h_{jk} \nu$.\\
  Da $\langle \nu, \nu \rangle = 1$, folgt $R_{ijkl} = h_{jk} h_{ie} - h_{ik} h_{jl}$.
\end{bem}

\begin{satz}[\emph{Theorema egregium}, Gauß]
  Für eine HF $X : U \to \R^3$ gilt
  \[ K(u) = \frac{\det(h(u))}{\det(g(u))} = \frac{R_{1221}(u)}{\det(g(u))}. \]
  Letzter Ausdruck ist nur abh. von der 1.\,FF und ihren Ableitungen.
\end{satz}

% Vorlesung vom 16.12.2013

\begin{satz}[\emph{Codazzi-Mainardi-Gl.}]
  Für eine HF $X : U \to \R^n$ gilt
  \[ \partial_i h_{jk}(u) - \sum_{l=1}^{n-1} \Gamma_{ik}^l(u) h_{e_j}(u) = \partial_j h_{ik}(u) - \sum_{l=1}^{n-1} \Gamma_{jk}^l(u) h_{e_i}(u). \]
\end{satz}

\begin{satz}[\emph{Hauptsatz der lokalen Flächentheorie (Bonnet)}]\mbox{}\\
  Sei $U \opn \R^m$ einfach zusammenhängend und
  \[ g, h : U \to \Set{ A \in \R^{m \times m} }{ A^T = A, \, A \text{ positiv definit } } \]
  glatt. Dann sind äquivalent:
  \begin{itemize}
    \item $\exists \, X : U \to \R^{m+1}$ Hyperfläche mit $g$ und $h$ als 1.\,FF bzw. 2.\,FF.
    \item $g, h$ erfüllen die Gauß- und die Codazzi-Mainardi-Gleichung.
  \end{itemize}
\end{satz}


% Kapitel 2.10. Winkeltreue Abbildungen

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine Hyperfläche. Ein Punkt $u \in U$ heißt \emph{Nabelpunkt}, wenn in $u$ alle Hauptkrümmungen gleich sind, also $W_u = \mu I$ für ein $\mu \in \R$. Wenn alle $u \in U$ Nabelpunkte sind, so heißt $X$ \emph{Nabelpunkthyperfläche}.
\end{defn}

\begin{satz}
  Sei $n \geq 3$ und $X : U \to \R^n$ eine Nabelpunkt-HF in $\Cont^3$, dann ist $X(U)$ Teilmenge einer Hyperebene oder einer Hypersphäre im $\R^n$.
\end{satz}

\begin{defn}
  Sei $O \opn \R^n$. Eine $\Cont^2$-Abbildung $\Phi : O \to \R^n$ heißt \emph{orth. Hyperflächensystem} (OHFS), wenn $\fa{x \!\in\! O\!} \! \fa{j \not= k \!\in\! \{ 1, \nldots, n \}}\!$
  \[
    \langle \partial_j \Phi(x), \partial_k \Phi(x) \rangle = 0
    \quad \text{und} \quad
    \langle \partial_j \Phi(x), \partial_j \Phi(x) \rangle \not= 0.
  \]
\end{defn}

\begin{nota}
  Für $t \in \R$ ist $U^{j,t} \coloneqq \Set{ (x_1, \ldots, x_n) \in O }{ x_j = t }$.
\end{nota}

\begin{bem}
  Falls $U^{j,t}$ offen ist in $\Set{ (x_1, \ldots, x_n) \in \R^n }{ x_j = t }$, ist
  \[ X^{j,t} \coloneqq \Phi|_{U^{j,t}} : U^{j,t} \to \R^n \]
  eine Hyperfläche und für alle $x \in U^{j,t}$ gilt
  \[ \partial_j \Phi(x) \perp T_x X^{j,t} = \mathrm{Spann} \Set{ \partial_k \Phi(x) }{ k \in \{ 1, \ldots, n \} \setminus \{ j \} }. \]
\end{bem}

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine HF und $c \coloneqq X \circ \alpha : I \to \R^n, I$ Intervall und $\alpha : I \to U$ glatt. Dann heißt $c$ \emph{Krümmungslinie}, wenn für alle $c'(t)$ für alle $t \in I$ eine Hauptkrümmungsrichtung von $X$ ist, \dh{} ein Eigenvektor von $W_{\alpha(t)}$.
\end{defn}

% Vorlesung vom 18.12.2013

\begin{satz}
  Ist $\Phi : O \to \R^n$ OHFS, dann sind die Koordinatenlinien
  \[ h \mapsto \Phi(t_1, \ldots, t_{j-1}, t_j + h, t_{j+1}, \ldots, t_n) \quad \text{ mit } (t_1, \ldots, t_n) \in O \text{ fest} \]
  Krümmungslinien von $X^{k, t_k}$ mit $k \not= j$.
\end{satz}

\begin{defn}
  Eine lineare Abb. $F : \R^n \to \R^n$ heißt \emph{konform}, wenn
  \[ \measuredangle (v, w) = \measuredangle (F(v), F(w)) \quad \text{für alle } v, w \in \R^n. \]
\end{defn}

\begin{bem}
  Jede lineare Abbildung lässt sich darstellen als
  \[ F(x) = A_F \cdot x \text{ mit } A_F \in \R^{n \times n} \]
  und es gilt $F$ konform $\iff$ $\tfrac{1}{\mu} A_F \in O(n)$ für ein $\mu \in \R_{> 0}$. Dieses $\mu$ wird \emph{konformer Faktor} oder Streckungsfaktor genannt.
\end{bem}

\begin{defn}
  Seien $O, \widetilde{O} \opn \R^n$. Ein $\Cont^1$-Diffeomorphismus $f : O \to \widetilde{O}$ heißt \emph{konform}, wenn für alle $x \in O$ die Abbildung $D_x f$ konform ist.
\end{defn}

% Konforme Abbildungen im $\R^2$
\iffalse
\begin{bem}[Konforme Abbildungen im $\R^2$]
  Sei $O \opn \C \cong \R^2$ zusammenhängend und $f : O \to \widetilde{O}$ konform.
  Sei $\lambda : O \to \R_{> 0}$ der konforme Faktor, \dh{} $\lambda(x)^{-1} D_x f \in O(n)$.
  Ohne Einschränkung ist $\det(D_x f) > 0$ für alle $x \in O$ (sonst $\widetilde{f} = f \circ \overline{\,\cdot\,}$).
  Es folgt: $D_x f = \lambda(x) \begin{psmallmatrix} \cos \alpha_x & \sin \alpha_x \\ -\sin \alpha_x & \cos \alpha_x \end{psmallmatrix} = \lambda(x) \cdot e^{i \alpha_x} \in \C$, also ist $f$ holomorph.
\end{bem}
\fi

\begin{satz}
  Jede konforme Abbildung auf einer zusammenhängenden offenen Teilmenge des $\R^2$ ist bis auf Verknüpfung mit der komplexen Konjugation eine holomorphe reguläre Abbildung und umgekehrt.
\end{satz}

\begin{defn}
  Eine Abbildung $f : O \to \widetilde{O}$ heißt \emph{kugeltreu}, wenn sie offene Teilmengen von Sphären auf offene Teilmengen von Sphären abbildet. Dabei gelten Hyperebenen als Sphären mit Radius $\infty$.
\end{defn}

\begin{satz}[\emph{Liouville}]
  Wenn $n \geq 3$, dann ist jede konforme $\Cont^3$-Abb. $f : O \to \widetilde{O}$ kugeltreu, \dh{} falls $X : U \to O$ eine Nabelpunkt-HF ist, dann ist $f \circ X : U \to \widetilde{O}$ auch eine Nabelpunkt-HF.
\end{satz}

% Klassifikation konformer Abbildungen in Dimension $n \geq 3$

% Vorlesung vom 8.1.2014

\begin{bsp}
  Konforme Abbildungen im $\R^n$ sind:
  \begin{itemize}
    \item Isometrien: $f(x) = Ax + b, A \in O(n), b \in \R^n$
    \item Zentrische Streckungen: $f(x) = rx, r > 0$
    \item Inversionen an Sphären: $\iota : \R^2 \to \R^2 \cup \{ \infty \}, x \mapsto \tfrac{x}{\norm{x}^2}, x \not= 0$
  \end{itemize}
\end{bsp}

\begin{lem}
  Inversionen an Sphären sind kugeltreu und konform.
\end{lem}

\begin{defn}
  Eine \emph{Möbius-Transformation} ist eine Verkettung von Isometrien, zentrischen Streckungen und Inversionen an Sphären.
\end{defn}

\begin{bem}
  Für $n = 2$, $\R^2 \cong \C$ ist eine Möbius-Transformation eine Abbildung $z \mapsto \tfrac{az+b}{cz+d}$ mit $a, b, c, d \in \C$, sodass dieser Ausdruck definiert ist mit $\det \left( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \right) \not= 0$.
\end{bem}

\begin{satz}
  Seien $O, \widetilde{O} \opn \R^n$, $n \geq 2$ und $f : O \to \widetilde{O}$ winkel- und kugeltreu. Dann ist $f$ Einschränkung einer Möbius-Transformation.
\end{satz}

\begin{kor}
  Für $n \geq 3$ gilt: Jeder konforme $\Cont^3$-Diffeomorphismus $f$ ist Einschränkung einer Möbius-Transformation.
\end{kor}

% Vorlesung vom 13.1.2014

% Kapitel 3.
\section{Minimalflächen}

% Kapitel 3.1. Flächeninhalt von immergierten Flächen

\begin{lem}
  Sei $A \in \R^{n \times n}$, $B \in \R^{n \times (n-m)}$, $C = (A, B) \in \R^{n \times n}$. Wenn jeder Spaltenvektor von $B$ senkrecht auf allen anderen Spaltenvektoren von $C$ steht und normiert ist, dann gilt
  \[ \det(C) = \sqrt{ \det(A^T A) }. \]
\end{lem}

% Vorlesung vom 13.1.2014

% $U \opn \R^m$, $X : U \to \R^n$ immergierte Fläche, $C \subset U$ kompakt mit nicht leerem Inneren und glattem Rand

% \[ A(X(C)) = \Int{C}{}{\sqrt{\det(g_u)}}{u} \]

% Grund: Transformationssatz
% Begründung 2: Infinitesimale Änderung

\begin{defn}
  Sei $f : U \to \R$ stetig, dann heißt
  \[ \Int{C}{}{f}{\A} \coloneqq \Int{C}{}{f(u) \cdot \sqrt{\det(g_u)}}{\mu (u)} \quad \text{\emph{Flächeninhalt}.} \]
\end{defn}

\begin{prop}
  Der Flächeninhalt ist invariant unter Umparametrisierungen: Sei $X = \widetilde{X} \circ \phi$, $\phi : U \to \widetilde{U}$ ein Diffeo, $C \subset U$ kompakt, dann gilt
  \[ \Int{C}{}{\sqrt{\det(g_u)}}{\mu (u)} = \Int{\phi(C)}{}{\sqrt{\det(\widetilde{g}_u)}}{\mu (\widetilde{u})}. \]
\end{prop}


% Kapitel 3.2. Variationsformel für Flächeninhalte

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^n$ immergierte $\Cont^2$-Fläche,
  $C \subset U \subset \R^m$ ein Kompaktum mit nichtleerem Inneren, dessen Rand eine Nullmenge ist.
  Dann ist eine Variation von $X$ auf $C$ eine Abbildung
  \[
    \ointerval{-\epsilon}{\epsilon} \times U \xrightarrow{\Cont^2} \R^n, \quad
    (x, u) \mapsto X^s(u) \quad \text{mit}
  \]
  \begin{itemize}
    \miniitem{0.48 \linewidth}{$X^s : U \to \R^n$ $\Cont^2$-Immersion\vphantom{$|_{U \setminus C}$},}
    \miniitem{0.19 \linewidth}{$X^0 = X_{\,}$\vphantom{$|_{U \setminus C}$},}
    \miniitem{0.30 \linewidth}{$X^s|_{U \setminus C} = X|_{U \setminus C}$.}
  \end{itemize}
\end{defn}

\begin{nota}
  \begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
      \item $\A(s) \coloneqq \A(X^s(C))$
      \item $\delta \coloneqq \tfrac{\delta}{\delta s}|_{s = 0}$
    \end{itemize}
  \end{multicols}
\end{nota}

\begin{lem}
  Für $\epsilon > 0$ klein genug kann die Variation so umparametri- siert werden, dass das Variationsvektorfeld normal an $X$ ist, \dh{}
  \[ \xi(u) \coloneqq \delta X^s(u) \in N_u X \quad \text{ für alle } u \in U. \]
\end{lem}

\begin{defn}
  Eine kompakte $\Cont^2$-Variation $X^s$ einer Immersion $X$ heißt \emph{normal}, wenn $\delta X^s$ ein Normalenvektorfeld längs $X$ ist.
\end{defn}

\begin{defn}
  In dieser Situation schreiben wir mit der 2. FF $\FFII$ von $X$
  \[ h^\xi : U \to \R^{m \times m}, \quad u \mapsto (\langle \FFII(e_j, e_k), \xi \rangle)_{jk}. \]
\end{defn}

\begin{lem}
  Sei $A : \R \to \mathrm{GL}_m(\R) \subset \R^{m \times m}$ diff'bar, dann
  \[ (\det(A))' = \det(A(t)) \cdot \spur(A^{-1}(t) \cdot A'(t)). \]
\end{lem}

\begin{satz}[\emph{1. Variation}]
  Es gilt $\delta \A(s) = - \Int{C}{}{\spur(g^{-1} h^\xi)}{\A}$.
\end{satz}

\begin{defn}
  Eine Fläche $X : U \to \R^n$ heißt \emph{Minimalfläche}, wenn für jedes Kompaktum $C \subset U$ mit nichtleerem Inneren und Rand von Maß Null und für jede normale Variation $X^s$ von $X$ auf $C$ gilt:
  \[ \delta \A(X^s|_C) = 0. \]
\end{defn}

\begin{satz}
  Eine Fläche $X$ ist genau dann eine Minimalfläche, wenn
  \[ \spur(g^{-1} h^{\mu}) = 0 \]
  für jedes Normalenvektorfeld $\mu$ an $X$.
\end{satz}

% Vorlesung vom 20.1.2014

% Zwischenüberschrift: Minimale Hyperflächen

\begin{bem}
  Sei $\mu$ ein Normalenvektorfeld an eine Hyperfläche $X$. \\
  Dann gibt es eine Funktion $f : U \to \R$ mit $\mu = f \cdot \nu$, wobei $\nu$ die Gaußabbildung von $X$ ist. Dann ist $h^\mu = f \cdot h$ und $g^{-1} h^{\mu} = f \cdot g^{-1} \cdot h = f \cdot w$, wobei $w$ die Weingartenabbildung ist.
\end{bem}

\begin{satz}[1. Variation für HF]
  Ist $X : U \to \R^n$ eine HF und $X^s : U \to \R^n$ eine normale Variation von $X$ auf einem Kompaktum $C \subset U$ mit nichtleerem Inneren und Rand vom Maß Null und $\xi = \delta X^x = f \nu$ mit $f : U \to \R$, dann gilt
  \[ \delta \A(X^s|_C) = - \Int{C}{}{f (n{-}1) H}{\A}. \]
\end{satz}

\begin{satz}
  Eine Hyperfläche $X : U \to \R^n$ ist genau dann minimal, wenn
  \[ H \equiv \tfrac{\kappa_1 + \ldots + \kappa_{n{-}1}}{n-1} \equiv \tfrac{\spur(w)}{n-1} \equiv 0. \]
\end{satz}

% Beispiele für minimale Hyperflächen

%\begin{itemize}
%  \item offene Teilmenge einer Ebene
%  \item Katenoid $X : \R^2 \to \R^3, \quad (s, t) \mapsto (\cosh(s) \cdot \cos(s), cosh(s) \cdot \sin(t), s)$ "`einzige"' minimale Drehfläche ohne Selbstschnitte
%  \item Wendelfläche $X : \R^2 \to \R^2, \quad (s, t) \mapsto (\sinh(s), \cos(t), \sinh(s), \sin(t), t)$ "`einzige"' minimale Regelfläche
%  \item Scherksche Fläche
%  \item Enneper-Fläche $X : \R^2 \to \R^3, \quad (x, y) \mapsto \begin{pmatrix} x - \frac{x^3}{3} + xy ^2 \\ y - \frac{y^3}{yx^2} \\ x^2 - y^2 \end{pmatrix}$
%  \item Henneberg-Fläche $X : \R^2 \to \R^3, \quad (x, y) \mapsto \begin{pmatrix} 2 \sinh(x) \cos(y) - \tfrac{2}{3} \sinh(3x) \cos(3y) \\ 2 \sinh(x) \sin(y) - \tfrac{2}{3} \sinh(3x) \sin(3y) \\ 2 \cosh(2x) \cos(2y) \end{pmatrix}$
%  \item Catalan-Fläche: $X : \R^2 \to \R^3, \quad (x, y) \mapsto \begin{pmatrix} x - \sin(x) \cosh(y) \\ 1 - \cos(x) \cosh(y) \\ y \sin(\tfrac{x}{2}) \sinh(\tfrac{y}{2}) \end{pmatrix}$
%\end{itemize}

\begin{samepage}

\begin{satz}
  Für eine minimale immergierte HF $X : U \to \R^n$ gilt: Um jeden Punkt $u_0 \in U$ gibt es ein Kompaktum $C \subset U$ mit nicht leerem Inneren, dessen Rand eine Nullmenge ist und welches $u_0 \in C^\circ$ erfüllt, sodass für jede immergiere HF $\tilde{X} : U \to \R^n$ mit $X|_{U \setminus C} = \tilde{X}|_{U \setminus C}$ erfüllt gilt: $\A(X(C)) \leq \A(\tilde{X}(C))$. \\
  Gleichheit tritt genau dann ein, wenn $\tilde{X}$ eine Umparam. von $X$ ist.
\end{satz}

% Verallgemeinerung von minimalen Hyperflächen:

% Vorlesung vom 22.10.2014

% 3.3.
\subsection{Flächen konstanter mittlerer Krümmung}

\end{samepage}

\begin{situation}
  Sei $X : U \to \R^2$ immergierte $\Cont^3$-Hyperfläche und $U_0 \subset U$ offen, sodass $X|_{U_0}$ ein Homöomorphismus auf sein Bild ist. Sei $C \subset U_0$ ein Kompaktum mit glattem Rand, das Abschluss einer offenen Menge $C^\circ$ ist. Sei außerdem $D \subset \R^n$ kompakt, sodass $X(C) \subset \partial D$. Wir nennen $D$ \emph{Dose} mit \emph{Deckel} $X(C)$ und \emph{Boden} $\partial D \setminus X(C)$. Wir betrachten eine $\Cont^2$-Variation $\ointerval{-\epsilon}{\epsilon} \times U \to \R^n$, $(s, u) \mapsto X^s(u)$ auf $C$ mit $X^0 = X$, sodass gilt:

  \begin{itemize}
    \miniitem{0.35 \linewidth}{$X^s|_{U \setminus C} = X|_{U \setminus C}$}
    \miniitem{0.62 \linewidth}{$\fa{s \in \ointerval{-\epsilon}{\epsilon}} X^s|_{U_0}$ ist eine Einbettung}
  \end{itemize}

  Dann ist $X^s(C)$ Flächenstück einer Dose $D^s$, wobei der Boden von $D^s$ mit dem von $D$ übereinstimmt, \dh{} $\partial D^s \setminus X^s(C) = \partial D \setminus X(C)$.
\end{situation}

\begin{defn}
  $X^s$ heißt \emph{Variation mit konstantem Volumen}, wenn
  \[
    \mathrm{Vol}(D^s) = \mathrm{Vol}(D)
    \quad \text{für alle $s \in \ointerval{-\epsilon}{\epsilon}$}.
  \]
\end{defn}


\begin{defn}
  Die Hyperfläche $X$ heißt \emph{minimal bei konstantem Volumen}, wenn für alle Variationen von $X$ auf derartigen Kompakta $C \subset U$ mit konstantem Volumen gilt: $\delta \A (X^s|_C) = 0$.
\end{defn}

% Annahmen zum leichteren Rechnen, Resultate aber unabhängig von Dose
\iffalse
  Ohne Einschränkung:
  \begin{itemize}
    \item $X^s$ ist normale Variation mit konstantem Volumen, % (Lemma 3.3)
    \dh{} $X^s = X + \tau_s \nu$, wobei $\tau : \ointerval{-\epsilon}{\epsilon} \times U \to \R, \quad \tau_s(u)$ mit $\tau_0 = 0$, $\tau_s|_{U \setminus C} = 0$.
  \end{itemize}

  Sodann gilt:

  \[ \delta X^s = \tfrac{\partial}{\partial s}|_{s=0} X^s = \left( \tfrac{\partial}{\partial s}|_{s=0} \tau_s \right) \cdot \nu, \]
  also
  \[ (\partial \tau_s) = \langle \delta X^s, \nu \rangle \] % da \nu Einheitsnormalenvektorfeld

  \begin{itemize}
    \item $\fa{u \in C} \abs{(X(u) + \R \nu(u)) \cap (\partial D \setminus X(C))} = 1$.
    \item Im Schnittpunkt $y_u \in (X(u) + \R \nu(u)) \cap (\partial D \setminus X(C))$ gilt: $\nu(u)$ nicht tangential an $\partial D \setminus X(C)$.
  \end{itemize}

  Nach Verkleinerung von $C$ (hierbei geht Glattheit von $\partial D$ verloren, es bleibt Glattheit von $\partial D \setminus X(C)$):
  Jeder Punkt von Boden liegt auf mindestens einer Geraden $X(u) + \R \nu(u)$

  Also gilt: $\ex{b : C \to \R_{\leq 0}}$ stetig
  mit $\fa{s \in \ointerval{-\epsilon}{\epsilon}} \fa{u \in C} b(u) \leq \tau_s(u)$ und $b(u) = 0 \iff u \in \partial C$, sodass $D^s = \Set{X(u) + r \nu(u)}{ u \in C, b(u) \leq r \leq \tau_s(u) }$
\fi

\begin{prop}
  Sei $X^s = X + \tau_s \nu$ eine normale Variation von $X$ auf $C$. Sei $V^s \coloneqq \mathrm{Vol}(D^s)$, dann gilt
  \[ \delta V^s = \Int{C}{}{\delta \tau_s}{\A} = \Int{C}{}{\langle \delta X^s(u), \nu (u) \rangle \sqrt{\det(g_u)}}{u}. \]
\end{prop}

\begin{nota}
  $\Cont^0_C(U, \R) \coloneqq \Set{ f : U \to \R }{ \text{stetig mit } \supp f \text{ kompakt} }$
\end{nota}

\iffalse
  $V = \Cont^0(C, \R) = \Set{ f : C \to \R }{ \text{stetig} }$

  Skalarprodukt:
  \begin{align*}
    \Cont^0(C, \R) \times \Cont^0(C, \R) &\to \R
    (f_1, f_2) &\mapsto \Int{C}{}{f_1 \cdot f_2}{\A} =: \langle f_1 , f_2 \rangle_{L^2}
  \end{align*}
\fi

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine HF. Dann ist folgende Abbildung ein Skalarprodukt, genannt \emph{$L^2$-Skalarprodukt bzgl. $\d \A$}:
  \[
    \Cont^0_C(U, \R) \times \Cont^0_C(U, \R) \to \R, \quad
    (f_1, f_2) \mapsto \Int{C}{}{f_1 \cdot f_2}{\A} =: \langle f_1 , f_2 \rangle_{L^2}
  \]
\end{defn}

\begin{nota}
  \begin{itemize}
    \item $\delta V^s \coloneqq \Int{C}{}{\langle X^s , \nu \rangle \sqrt{\det(g_u)}}{u} = \langle f , 1 \rangle_{L^1}, f \coloneqq \langle X^s , \nu \rangle$
    \item $\delta \A^s \coloneqq \delta(\A(X^s(C))) = - \Int{C}{}{f \cdot (n{-}1) \cdot H}{\A} = - \langle f, (n{-}1) H \rangle_{L^1}$
  \end{itemize}
\end{nota}


% Vorlesung vom 27.1.2014

% Situation: $C \subset U$ kompakt mit $C = \overline{\C^\circ}$ mit $\C^\circ \opn \R^n$, $\partial C$ glatt

\begin{lem}
  Sei $f : U \to \R$ eine $\Cont^2$-Abbildung mit $\supp(f) \subset C$. Wenn $\Int{C}{}{f}{\A} = 0$, dann gibt es eine normale Variation $X^s = X + \tau_s \nu$ mit konstantem Volumen, sodass $f = \delta \tau_s = \langle \delta X^s , \nu \rangle$.
\end{lem}

\begin{prop}
  Es sind äquivalent:
  \begin{itemize}
    \item Es gilt $\delta \A^s = 0$ für jede normale Variation $X^s$ von $X$ auf $C$ mit konstantem Volumen.
    \item Es gibt $\lambda \in \R$, genannt \emph{Lagrange-Multiplikator}, sodass $\delta(\A^s + \lambda \nu^s) = 0$ für alle normalen Variationen.
  \end{itemize}
\end{prop}
% Hinweis: In Punkt 2 sind auch Variationen mit nicht konstantem Volumen zugelassen.

% TODO: Definition CMC (constant mean curvature)
\begin{defn}
  Eine Fläche heißt \emph{CMC-Fläche} (constant mean curvature), wenn die mittlere Krümmung $H$ konstant ist.
\end{defn}

\begin{samepage}

\begin{satz}
  Sei $X : U \to \R^n$ eine $\Cont^3$-Hyperfläche mit $U \opn \R^{n-1}$ zusammenhängend, dann sind äquivalent:
  \begin{itemize}
    \miniitem{0.59 \linewidth}{$X$ ist minimal bei konst. Volumen.}
    \miniitem{0.36 \linewidth}{$X$ ist eine CMC-Fläche.}
  \end{itemize}
\end{satz}

% Kapitel 3.4.
\subsection{Minimalflächen im $\R^3$}

\end{samepage}

% Unterkapitel: Etwas Funktionentheorie

% Sei $F : \C \to \C$ eine $\Cont^1$-Abbildung, $F = u + i v$ mit $u, v : \R \to \R$

% $J_{x+iy} F = \begin{pmatrix} \tfrac{\partial u}{\partial x}(x+iy) & \tfrac{\partial u}{\partial y}(x+iy) \\ \tfrac{\partial v}{\partial x}(x+iy) \tfrac{\partial v}{\partial y}(x+iy) \end{pmatrix}$

% $F$ komplex diff'bar, wenn gilt: $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ und $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ (Cauchy-Riemann-DGL)

\begin{situation}
  Sei $U \opn \C$, $F : U \to \C$ eine $\Cont^1$-Funktion. Identifiziere $\C \cong \R^2$ mittels $\left( \begin{smallmatrix} a \\ b \end{smallmatrix} \right) \mapsto a + ib$.
\end{situation}

\begin{defn}
  $F$ heißt in $z_0$ \emph{holomorph} (komplex diff'bar), wenn
  \[ F'(z_0) \coloneqq \lim_{z \to z_0} \tfrac{F(z) - F(z_0)}{z - z_0} \quad \text{existiert.} \]
\end{defn}

\begin{nota}[\emph{Wirtinger}]
  \begin{minipage}[t]{0.5 \linewidth}
    \begin{itemize}
      \item $\partial_{z} F = \tfrac{1}{2} (\partial_1 F - i \partial_2 F)$
      \item $\partial_{\overline{z}} F = \tfrac{1}{2} (\partial_1 F + i \partial_2 F)$
    \end{itemize}
  \end{minipage}
\end{nota}

\begin{lem}
  Die Funktion $F$ ist genau dann holomorph, wenn $\partial_{\overline{z}} F = 0$. In diesem Fall gilt: $F' = \partial_z F$.
\end{lem}

\begin{nota}
  $\triangle F \coloneqq \partial_1 \partial_1 F + \partial_2 \partial_2 F$
\end{nota}

\begin{lem}
  Sei $F : U \to \C$ eine $\Cont^2$-Funktion, dann gilt
  \[ \partial_z \partial_{\overline{z}} F = \tfrac{1}{4} \triangle F = \tfrac{1}{4} (\partial_1 \partial_1 F + \partial_2 \partial_2 F). \]
\end{lem}

% Vorlesung vom 29.1.2014

% Für $\Cont^1$-Funktionen $F = (F_1, \ldots, F_n) : U \to \C^n$
% machen Definition von komplexer Diff'barkeit, Wirtinger-Notation und obiges Lemma Sinn (komponentenweise)

% Für eine Funktion $F : U \to \R^n$, wobei $U \opn \C$:
% Verwende die kanonische Abbildung $can : \R^n \to \C^n$, dann
% \[ \partial_Z F \coloneqq \partial_Z (can \circ F) \]
% \[ \partial_\overline{Z} F \coloneqq \partial_\overline{Z} (can \circ F) \]

% $\C$-bilinear Erweiterung: % des typischen Skalarprodukts auf dem $\R^n$
% \[ \langle \begin{pmatrix} z_1 \\ \vdots \\ z_n \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} w_1 \\ \vdots \\ w_n \end{pmatrix} \langle \coloneqq \sum_{j=1}^n z_j w_j \]

\begin{defn}
  Folgende Abbildung ist symmetrisch und über $\C$ bilinear:
  \[
    \langle \blank , \blank \rangle : \C^n \times \C^n \to \C, \quad
    (z, w) \mapsto \langle z, w \rangle \coloneqq \sum_{j=1}^n z_j w_j
  \]
\end{defn}

\begin{bem}
  Die Abbildung ist nicht positiv definit, nicht hermitesch und damit auch kein Skalarprodukt.
\end{bem}

\begin{defn}
  Ein Vektor $z \in \C^n$ heißt \emph{isotrop}, wenn $\langle z, z \rangle = 0$.
\end{defn}

% Beispiel im $\C^2$: $begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$

\begin{lem}
  Sei $z = x + iy \in \C^n$ mit $x, y \in \R^n$. Dann gilt:
  \[ z \text{ isotrop} \quad \iff \quad \norm{x} = \norm{y} \text{ und } x \perp y \]
\end{lem}

% Unterkapitel: Konforme Parametrisierungen

\begin{defn}
  Eine $\Cont^2$-HF $X : U \to \R^3$ heißt \emph{konform parametrisiert}, wenn es eine $\Cont^1$-Funktion $\lambda : U \to \R_{>0}$, genannt \emph{konformer Faktor}, gibt, sodass $g = \lambda^2 I_2$, wobei $g$ die 1.\,FF von $X$ ist.
\end{defn}

\begin{bem}
  Durch Umparametrisierung kann jede hinreichend reguläre Hyperfläche konform parametrisiert werden.
\end{bem}

\begin{lem}
  Sei $X : U \to \R^3 \subset \C^3$ eine $\Cont^2$-Hyperfläche. Dann gilt
  \[
    \text{$X$ ist konform parametrisiert}
    \enspace \iff \enspace
    \langle \partial_z X, \partial_z X \rangle \equiv 0.
  \]
  Dann gilt $\lambda = \sqrt{2 \langle \partial_z X , \overline{\partial_z X} \rangle}$.
\end{lem}

\begin{lem}
  Sei $X : U \to \R^3 \subset \C^3$ eine konform param. $\Cont^2$-HF. Dann:
  \[ \triangle X = 2 \lambda^2 H \nu. \]
\end{lem}

\begin{lem}
  Sei $X : U \to \R^3$ eine Hyperfläche. Dann sind äquivalent:
  \begin{itemize}
    \item $X$ ist eine konform parametrisierte Minimalfläche.
    \item $\partial_z X : U \to \C^3 \setminus \{ 0 \}$ ist holomorph und isotrop, also
    \[
      \partial_{\overline{z}} (\partial_z X) = 0
      \quad \text{und} \quad
      \langle \partial_z X, \partial_z X \rangle = 0.
    \]
  \end{itemize}
\end{lem}

% Vorlesung vom 3.2.2014

\begin{defn}
  Sei $U \opn \C$ und $f : U \to \C$ holomorph. Eine holomorphe Fkt. $F : U \to \C$ heißt \emph{Stammfunktion} (STF) von $f$, wenn $F' = f$.
\end{defn}

\begin{bem}
  Sei $U$ zusammenhängend und $F_1, F_2 : U \to \C$ zwei STFn von $f$, dann ist $F_1 - F_2 = \mathrm{const}$.
\end{bem}

\begin{defn}
  Sei $f = (f_1, \ldots, f_n) : U \to \C^n$. Eine holomorphe Funktion $F = (F_1, \ldots, F_n) : U \to \C^n$ heißt \emph{Stammfunktion} von $f$, wenn $F_j' = f_j$ für $j = 1, \ldots, n$.
\end{defn}

\begin{nota}
  Wir schreiben ${\textstyle \int} f$ für eine STF von $f$.
\end{nota}

\begin{lem}
  Sei $X : U \to \R^3$ eine konform parametrisierte HF, dann:
  \[ X - 2 \Re \left( {\textstyle \int} \partial_z X \right) = \mathrm{const}. \]
\end{lem}

\begin{bem}
  Sei $X : U \to \R^3$ konform parametrisierte Minimalfläche, dann gilt $X = 2 \Re \left( {\textstyle \int} \partial_z X \right)$ bis auf Translation.
\end{bem}

\begin{satz}
  Es gibt (bis auf Translation) eine eindeutige Beziehung zwischen der Menge der konform parametrisierten Hyperflächen $X : U \to \R^3 \subset \C^3$ und der Menge der holomorph isotropen Abbildungen $Y \to \C^3 \setminus \{ 0 \}$ gegeben durch (bis auf Translation)
  \[ Y = 2 \partial_z X, \qquad X = \Re {\textstyle \int} Y \]
\end{satz}

% Unterkapitel: Assoziierte Familien

% Gegeben: $X : U \to \R^3 \subset \C^3$ eine konform parametrisierte minimale $\Cont^2$-Hyperfläche, $U$ zusammenhängend
% $Y \coloneqq 2 \partial_z X$
% $X_\Theta \coloneqq \Re(\int Y_\Theta = \Re(\exp(i \Theta) \int Y)) : U \to \R^3$
% Annahme (Wahl der Translation):
% * $Y_0 = X$
% * Familie stetig in $\Theta$
% * $(2 \pi)$-periodisch

% Man nennt $X_\Theta$ die \emph{assoziierte Familie} von $X$, es gilt
% $X_{\Theta + \pi} = - X_{\Theta}$

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^3 \subset \C^3$ eine konform parametrisierte minimale $\Cont^2$-HF und $Y \coloneqq 2 \partial_z X : U \to \C^3 \setminus \{ 0 \}$ (isotrop, holomorph). \\
  Sei $\Theta \in \R$, dann ist auch
  \[ Y_\Theta : U \to \C^3 \setminus \{ 0 \}, \quad u \mapsto \exp(i \Theta) Y(u) \]
  holomorph und isotrop. Wir erhalten dann eine $2 \pi$-periodische Schar von Minimalflächen durch
  \[ X_{\Theta} = \Re ({\textstyle \int} Y_{\Theta}) = \Re (\exp(i \Theta) {\textstyle \int} Y) : U \to \R^3, \Theta \in \R. \]
\end{defn}

\begin{lem}
  Jede Hyperfläche $X_\Theta$ für $\Theta \in \R$ in der assoziierten Familie von $X$ ist isometrisch zu $X$, \dh{} $g_{\Theta} = g$.
\end{lem}

\begin{beob}
  $X_{\Theta + \pi} = - X_{\Theta}$
\end{beob}

\begin{defn}
  Sei $X : U \to \R^3$ eine konform param. Minimalfläche, dann ist
  \[ X^* \coloneqq X_{\tfrac{\pi}{2}} = \Re (i {\textstyle \int} Y) = - \Im ({\textstyle \int} Y) \]
  die zu $X$ \emph{konjugierte Minimalfläche}.
\end{defn}

\begin{beob}
  Es gilt $X_{\Theta} = \cos(\Theta) X + \sin(\Theta) X^*$.
\end{beob}

% Weierstraß-Darstellung

\iffalse
  Gegeben: $X : U \to \R^3 \subset \C^3$ konform parametrisierte Minimalfläche
  $U \opn \R^2$ offen und zusammenhängend

  $Y = (Y_1, Y_2, Y_3) = 2 \partial_z X : U \to \C^3 \setminus \{0\}$ holomorph und isotrop.

  Da $Y$ isotrop: $Y_1^2 + Y_2^2 + Y_3^2 = 0$

  \begin{defn}
    $Y_{\pm} \coloneqq Y_1 \pm i Y_2 : U \to \C$
  \end{defn}

  Dann: $- Y_{+} Y_{-} = - (Y_1^2 + Y_2^2) = Y_3^2$

  \begin{defn}
    $h \coloneqq Y_3 : U \to \C$ holomorph\\
    $g \coloneqq \tfrac{Y_3}{Y_{-}} : U \to \C$ meromorph
  \end{defn}

  Es gilt: $-hg = Y_{+}$, $\tfrac{h}{g} = Y_{-}$

  % => wir können $Y_1, Y_2, Y_3$ aus $g$ und $h$ rekonstruieren

  Da $2 Y_1 = Y_{+} + Y_{-}$, $2 Y_2 = i (Y_{+}) - Y_{i}$, folgt
  $Y_1 = \tfrac{1}{2} (Y_{+} + Y_{-}) = \tfrac{h}{2} (\tfrac{1}{g} - g)$, $Y_2 = i \tfrac{h}{2} (\tfrac{1}{g} + g)$
\fi

\begin{satz}[\emph{Weierstraß-Darstellung}]
  Eine konform param. minimale $\Cont^2$-HF $X : U \to \R^3$ hat (bis auf Translation) die Gestalt
  \[
    X = \Re \left( {\textstyle \int} Y \right)
    \quad \text{mit} \quad
    Y = h \cdot (\tfrac{1}{2} (\tfrac{1}{g} - g), \tfrac{i}{2} (\tfrac{1}{g} + g), 1),
  \]
  wobei $h : U \to \C$ holomorph und $g : U \to \overline{\C}$ meromorph sind, sodass die Komponenten von $Y$ keine gemeinsamen Nullstellen haben und keine Singularitäten haben.
\end{satz}

% Vorlesung vom 5.2.2014

\begin{beob}
  Ist $X$ durch $g$ und $h$ gegeben, dann ist die assoziierte Familie $X_{\Theta}$ durch $h_{\Theta} = \exp(i \Theta) h$ und $g_{\Theta} = g$ definiert.
\end{beob}

\begin{satz}
  Sei $U \opn \C$ zusammenhängend, $X : U \to \R^3$ eine konform param. $\Cont^2$-HF, die durch $h$ und $g$ gegeben ist. Dann gilt $\nu = \Phi \circ g$ für die Gaußabb. $\nu$ von $X$ mit der stereographischen Projektion
  \[
    \Phi : \C \to S^2 \subset \R^3 \cong \C \times \R, \quad z \mapsto \tfrac{1}{\abs{z}^2 + 1} (2z, \abs{z}^2 + 1).
  \]
\end{satz}

\begin{kor}
  Sei $X$ eine zusammenhängende konform param. minimale $\Cont^2$-HF im $\R^3$ mit Gaußabb. $\nu$, dann gilt für die Gaußabbildung $\nu_{\Theta}$ der assoziierten Familie $X_{\Theta}$
  \[ \nu_{\Theta} = \nu. \]
\end{kor}

\end{document}